数据结构笔记——哈夫曼树

目录

一、带权路径长度

二、哈夫曼树的定义

三、哈夫曼树的构造

四、哈夫曼编码

五、总结

一、带权路径长度

结点的权：有某种现实含义的数值（如：表示结点的重要性等）

结点的带权路径长度：从树的根到该结点的路径长度（经过的边数）与该结点上权值的乘积

树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和

二、哈夫曼树的定义

在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中带权路径长度（WPL）最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树

三、哈夫曼树的构造

给定n个权值分别为w1,w2,....wn的结点，构造哈夫曼树的算法描述如下：

1）将这n个结点分别作为n棵仅含一个结点的二叉树，构成森林F。

2）构造一个新结点，从F中选取两棵根结点权值最小的树作为新结点的左、右子树，并且将新结点的权值置位左、右子树上根结点的权值之和。

3）从F中删除刚才选出的两棵树，同时将新得到的树加入F中。

4）重复步骤2）3），直至F中只剩下一棵树为止。

注：

1）每个初始结点最终都称为叶子结点，且权值越小的结点到根结点的路径长度越大

2）哈夫曼树的结点总数为2n - 1

3）哈夫曼树中不存在度为1的结点

4）哈夫曼树并不唯一，但WPL必然相同且为最优

四、哈夫曼编码

固定长度编码——每个字符用相等长度的二进制表示

ASCII编码

A——01000001

B——01000010

C——01000011

D——01000100

每个字符用长度为2的二进制表示

A——00

B——01

C——10

D——11

假设，100题中有80选C，10题选A，8题选B，2题选D

所有答案的二进制长度 = 80*2 + 10*2 + 8*2 + 2*2 = 200bit

可变长度编程——允许对不同字符用不等长的二进制位表示

若没有一个编码是另一个编码的前缀，则称这样的编码为前缀编码

哈夫曼树不唯一——哈夫曼编码不唯一

C——0

A——10

B——111

D——110

 

五、总结