漫话流体力学

相传在中国宋朝时候，有一位能工巧匠叫怀丙和尚。怀丙和尚足智多谋，留下了许多有名的故事。有一年陕西发大水，冲走了一座浮桥边的两只铁牛。这铁牛重达几万斤，难以打捞。怀丙和尚命人打造了两艘大船，装满沙石，然后连接到铁牛上，然后再把船中沙石丢弃，随着船身上浮，铁牛就被捞起来了。

 

无独有偶，在距宋代一千多年前的西方，也有一位能人用浮力解决过难题。这个人就是希腊人阿基米德（Archimedes）。公元前260年左右，叙拉古(今意大利西西里岛)国王给阿基米德出了一个难题。原来，国王请人用黄金打造了一顶纯金王冠，但是国王怀疑王冠掺假，于是请阿基米德来甄别。阿基米德把王冠放到天平的一端，然后再把等重的金块放上天平的另一端，最后把天平浸入水中。结果天平入水之后不再保持平衡，王冠掺了假。

 

这两个故事都是利用了浮力来化解难题，但是有一个非常不一样的地方。捞铁牛的古人运用经验来定性解决问题，并没有进行系统研究和归纳。而阿基米德从数学入手，定量分析，归纳出了“阿基米德原理”。

 

“阿基米德原理”提出：流体中的物体受到向上的浮力，其浮力大小等于其排开流体的重量。其中“流体”可为液体或气体。“重量”是因为万有引力而引发的作用力。这是最早的流体力学相关的能够定量计算的定律。

 

十五世纪文艺复兴期间，艺术大师达芬奇（da Vinci）继续对流体的特点进行了研究。他仔细思考了鸟类的飞翔提点，观察了水面波纹传播的规律，把兴趣的重点放在“涡漩(Eddy)”上。常态下的流体是稳定的，但是当流体的速度达到一定大小的时候，稳定性就会被破坏，形成“湍流”。“湍流”就是由一个个涡漩组成的。

 

达芬奇更加有趣的分析是关于液体的体积流量守恒原理：在同一管道中，相等的时间里流过的不同面积的横截面的流体体积是相同的。这个结论看似简单，其实暗含一个极其重要的假设：流体不可压缩。

 

1589年左右，意大利科学家伽利略（Galileo）完成了世界上第一本完整的物理学教科书：《流体力学》。这本教科书很有特点，伽利略使用了讽刺喜剧般讲故事的方法来阐述他的观念，令读者感到大为好奇，产生了一定影响。

 

1641年，意大利科学家托里拆利（Torricelli）设计了一个著名的实验来测定气体压力。他发现封闭真空水银管中的水银高度一直是76厘米，因为空气有重量，大气压力把水银压在了76厘米处。

 

托里拆利深受伽利略影响。早在1628年，托里拆利的导师卡斯德利就写了一本关于流体力学的著作，托里拆利当即指出其中的一处重要错误。卡斯德利正是伽利略的学生。卡斯德利认为，如果在一个水箱侧面钻一个孔，那么小孔处水流速度与小孔距离水面的距离成正比。托里拆利的实验表明，应该是与距离的平方根成正比。托里拆利的学说产生了深远的影响，导致流体力学从力学中分离出来，成为了独立的一个学科。有趣的是，伽利略和托里拆利的结论让很多阿基米德的理论破产。

 

法国数学家帕斯卡(Pascal)承袭了托里拆利的工作。帕斯卡在实验后认为：密闭容器中流体任意一部分的压强向流体的各个方向传递，而且大小相等。帕斯卡定律的数学描述为：F1/A1 = F2/A2。F1,F2是施加在流体上面的力，A1,A2是施加力的作用面积。帕斯卡定律在液压传动方面有非常重要的意义。“帕斯卡”也变成了国际压强单位。

 

与此同时，爱尔兰科学家波义耳（Boyle）着手研究空气的“弹性”。他找来一只羊的膀胱，用抽气机抽出气体，结果膀胱变小。充入气体，膀胱又变大。1662年，波义耳仔细研究了实验数据，提出了“波义耳定律”：气体的压强与体积的乘积是一个常数。

 

1687年，牛顿出版了《自然哲学的数学原理》。牛顿等人认为古老的流体力学与工程实际相差甚远，决定增加一些系数。牛顿把物体间的摩擦力引入流体中，认为流体内也存在与摩擦力类似的“粘性力”。法国物理学家达朗贝尔（Rond d'Alembert）按照牛顿的思路用水中的船只作了实验，证明了流体中的粘性阻力与物体运动速度成平方关系。

 

1755年，瑞士科学家欧拉（Euler）假设了一种理想流体（没有粘性，不可压缩）并列出了流体力学的基本方程。在这个模型中，决定流体运动的只有压力。模型定义的三个向量场分别为速度场u，压力场p，和密度场rho，它们都是位置s和时间t的函数。

 

这个等式看似复杂，其实就是牛顿第二定律的翻版。牛顿第二定律说“物体的加速度与物体所受的合外力成正比，与物体质量成反比”。数学表达式为a = F / m。欧拉公式也非常类似，左边两项合起来是质点运动的加速度，右边表示单位质量的微粒压力变化的总合。

 

左边第一项表示空间s中的质点速度的时间变化率。左边第二项表示速度为u的质点经微小时间变化后到达了另一个位置，新的位置和原来的位置的速度不一样。u对s的偏导数即为速度在不同位置的变化率，乘上u就得到了新的位置速度改变量。我们在中学物理里面只学了第一项，是因为对于固体(solid)和粒子我们有不同的定义。第二项是关于流体粒子运动带来的变化。

 

如果考虑三维情况，令坐标轴为u,v,w，并考虑重力方向，可以推导以下欧拉方程组。

 

欧拉方程表明，由液体的内部压力可以模拟液体微粒的运动方式，反过来由速度也可以解出内部压力。欧拉方程是非线性方程，即使用今天的电子计算机来求解也很困难。在两百多年前的欧洲，人们试图化简这个方程，其中以“伯努利方程”最为著名。

 

瑞士学者D.伯努利（Bernoulli）认为，对于密度不变，定常流动（流场不随时间变化，流场只是空间坐标的函数）的流体的一维情景，可以概括如下：

 

伯努利方程可由欧拉方程做出如上化简后积分得到。从我们学过的动能定理知道，速度的二次方其实是物体的动能。所以伯努利方程实际告诉了我们是压力导致了动能的变化。由于没有考虑粘性，其实右边的“常数”其实并不准确。

 

十八世纪的法国科学家拉格朗日（Lagrange）提出了研究流体力学的一种方法，它着眼于单个质点的运动，分析其运动轨迹，从而得出整个流体的运动。由此引出的“半拉格朗日”法仅研究终点在空间节点上的质点。相比较而言，欧拉的方法着眼于空间点，把空间分成一个网格体。网格上的每个节点上有速度、质量和密度等量，这些量的变化规律反映了流体的变化规律。拉格朗日又称“质点法”，欧拉法又称“空间法”。

 

就像前面说过的，尽管欧拉、伯努利运用了牛顿开创的力学定律和微积分，但是没有考虑牛顿提出的流体粘性，理论结果与实验结果相去甚远。而过于精细的方程又无法求解。流体力学分化为了两派：支持继续进行纯理论推导的流体理论派，支持采用半理论半实际测量的水力派。两派相互争辩，这样又过了一百多年。

 

纯理论研究想要获得突破，关键是要建立合适的粘性模型。1822年，纳维最早使用了微分方法建立了不可压缩粘性流体的方程组。1845年，英国人斯托克斯进一步完善了这些方程，引入粘性系数。这些方程通常被称为“Navier-Stokes equations”(NS方程组)。

 

NS方程组告诉了我们一种液体究竟有多粘。它有几个基本假设：1、流体必须是连续的（内部没有空隙，比如溶解的气泡）；2、所有的向量场（速度、压强、密度…）全部可微分。NS方程组的求解极其困难，工程中的大多数问题只能获得近似答案。目前科学家只求解得到了70多个精确的特解。

 

NS方程极其复杂。假如我们讨论不可压缩流体，并且假设粘性系数是常数，可以把NS方程组化简为以下的简单形式：

 

(1)   式左侧就是欧拉方程的加速度。右侧第一项是欧拉方程的压力因素。右侧第三项f是液体所受合外力。右侧第二项就是斯托克斯引入的粘性项。换句话说，欧拉方程就是不可压缩流体粘性系数为0的特殊情况。如果仔细观察第二项的话，会发现它与热运动的扩散方式非常相似。

(2)   式表现了流体的不可压缩性，是动量守恒方程。

 

尽管NS方程组也只是一个近似的描述，但仍然使理论流体力学向前跨进了一大步，可谓进入了流体力学史上第一个巅峰时刻。NS方程组是对于过去流体力学历史的总结，也是未来流体发展的惊人预言，近现代理论流体力学的研究纷纷以NS方程组为原始出发点。

 

还记得令达芬奇着迷的“湍流”吗？NS方程只对稳定流体有效，无法解决“湍流”问题。人们把NS方程能解决的流体问题归纳为光滑流动的“层流”问题，与“湍流”相对应。1883年，雷诺（Reynolds）仔细研究了层流和湍流的运动机制，用非压缩NS方程推导了一个数字，并用这个数字来判定流体到底是层流还是湍流。雷诺数是惯性力（不受外力就做匀速直线运动）和粘性力（流体摩擦力）的比值。当雷诺数比较小时，粘性力大于惯性力，流速的扰动会迅速衰竭，流体运动稳定，是层流；反之，惯性力大于粘性力，微小的扰动会迅速发展成为巨大的扰动，形成不规则的湍流。但是直到今天，湍流仍然难以刻画，湍流的真正形成机制仍然是一个谜团。

 

1904年，德国物理学家普朗特(Prandtl)提出了“边界层理论”。雷诺数很大的时候，流体内部应该为湍流，但是普朗特认为在接近流体边缘的时候仍然是层流。通过引入“边界层”，可以更好地化简NS方程组。普朗特的另一大贡献是把流体理论派和水力派统一了起来，“边界层理论”就是理论与实践结合的产物。

 

20世纪初，人们开始研究飞机所需要的空气动力学，普朗特开创了以流体力学为基础的机翼理论，告诉了人们为什么空气可以把如此沉重的飞机送上天空。1911年，匈牙利人冯卡门(vonKármán)成为普朗特的学生，他提出了“卡门涡街”的理论。在流体中设置阻流体，在阻流体下游会产生交错的涡旋，就好像街道两边的街灯一样。

 

冯卡门在加州理工学院成立了喷气推进实验室，钱学森成为了他的学生。他们共同研究了亚声速流动中压缩性对流体表面压力影响的公式，叫“卡门-钱学森公式”。冯卡门在回忆录《钱学森与红色中国》中评价道：“美国火箭领域中最伟大的天才之一，我的杰出门生”。

 

1955年，受美国麦卡锡主义的迫害，钱学森回到中国。华裔作家张纯如在《钱学森传》中评价道：“世人对钱学森的印象并非基于他在美国的研究成果，而是由于他遭驱逐后在中国领导科学的成就。他绝对是位杰出的一流科学家，但跟他共事过的人都一再向我强调，他还不够资格跟牛顿或爱因斯坦相提并论，甚至也不及他在加州理工的导师冯卡门。尽管他在理论方面下的功夫，对美国气体动力学的发展极具价值，但他既不曾带动革命，也未能创造新领域。如果他一九五五年就去世，不曾回到中国，他的一生就不可能成为一流传记的素材。”

 

1961年,美国气象学家洛伦茨（Lorenz）在模拟大气运动的时候为了省事，将本来是6位小数的输入数据截成了3位小数。他发现，0.0001的输入误差能够导致完全相反的结果。洛伦茨建立了新的气候数学模型，这个模型可以得出无穷多个发散的结果。他总结道：天气不停地变动根本就是无法正确预测的。1979年，洛仑兹发表了“蝴蝶效应”演说，认为巴西的蝴蝶振一振翅膀，可以导致德州的一场龙卷风。这就是著名的“混沌理论”。

 

流体力学的发展自阿基米德开始，历经了上千年的研究。有人说，混沌理论的起始，就是经典科学的结束，但是流体力学还远远没有到完结的时候。即使现代人能够运用计算机来进行复杂的运算，模拟湍流和混沌仍然是不可能的任务。

 

2000年，美国克雷数学研究院公布了七道历史性的“千禧年难题”，承诺给能够解答任何一题的人一百万美元。其中第六道就是NS方程组的存在性和平滑性证明，目前仍无人认领此奖。即使是相对简单的欧拉方程，目前也无法证明其一定存在解。

 

翱翔的飞鸟，起伏的波涛，汹涌的火焰，皑皑的冰雪，人类试图寻找隐藏在背后的终极答案。相信有一天，大自然的杰作将以本来面目呈现在我们面前。