28行代码AC——Minimum Sum LCM UVA - 10791（最大质因子）

励志用尽量少的代码做高效表达

---

题目(提交)链接——>UVA - 10791

---

题意

输入正整数n，找至少两个数，使得他们的最小公倍数(Least Common Multiple)为n且要输出最小的和。

---

心路历程

最近在备考蓝桥杯， 将本题纳入分解质因子专题。

接连刷了一下午的题， 脑瓜子嗡嗡的，看这道题时连题意都没读懂就稀里糊涂的开始敲了，WA，后又读题，调试一小时，成功AC。

首先假设我们知道了一系列数字a1，a2，a3……an，他们的LCM是n，那么什么时候他们是最优解呢，当他们两两互质的时候

为了方便我们以两个数来说明问题。

a和b的LCM是n，GCD是m，那么n=a/m*b ， 它们的和就是sum=a+b;

如果m不为1（即a和b不互质），那么我们为什么不优化一下，将a变为a=a/m呢？，改变后a和b的LCM依然是n，但是他们的和显然减少了

所以我们得到最重要的一个性质，要想a1，a2，a3……an的和最小，要保证他们两两互质，只要存在不互质的两个数，就一定可以近一步优化

那我们怎么保证两两互质呢？方法其实很简单，直接分解质因子

例如24=222*3 ， 只能分解为8和3，因为这里有3个2，这3个2必须在一起，如果分开了这3个2，这出现有两个数会有一个公共的质因子2，并且会使这两个数的LCM不是24

再例如72=22233，只能分为8和9，因为3个2和2个3都不能分开，他们必须在一次

所以，我们将一个数n分解为质因子后，顺便做一个处理，在除干净一个质因子的同时，将他们乘起来作为一个因子，处理完后会得到多个因子，他们之间同样满足两两互质的性质

然后是进一步的分析

例如264600=82725*49 ， 只是由3个2,3个3,2个5,2个7，处理后得到的因子，那么8,27，25,49的LCM是264600，并且两两互质，他们还要不要处理呢？不需要了，直接将他们加起来就是我们要的答案！为什么呢？可以将8,27,25,49这些数字乘起来，无论怎样乘都好，最后得到的数字它们的LCM依然是n，但是乘起来再相加显然比直接相加要大得多！

所以我们已经得到了这个问题的解法

1.将一个数分解成质因子，将相同的因子乘起来作为一个处理后的因子

2.将处理后得到的多个因子直接相加就是答案

3.因为题目说只要需要两个数字，所以对于1和素数我们需要小心。对于素数，我们只能分解出一个因子就它自己，对于1一个因子都分解不出来（我们不把1当做因子），他们的答案都是n+1，因为只有1和n的LCM是n

---

注意：

1、当n=2^31-1时为素数，输出结果时需+1，而这个量级在int型变量会溢出，因此改为long long
2、由于本题涉及到本身为因子的情况，但从1遍历到n显然太臃肿，因此可以考虑从1遍历到sqrt(n)，最后对n做特殊判断。

---

代码展示

#include 
using namespace std;

int Prime_Factor(long long n) {
	long long sum=0; 
	if(n==1) return 1;
	long long num = n/2;	
	for(long long i = 2; i*i <= n; i++)  {
		if(n%i==0) {
			long long sum1=1;
			while(n%i==0)  {
				sum1 *= i; 
				n /= i;
			}
			sum += sum1;
		}
	}
	if(n!=1) sum += n;  	//n等于1代表全除尽了 
	return sum;			
}

int main() {
	int T=0;
	long long n; while(cin>>n && n) {
		printf("Case %d: %", ++T);
		long long sum = Prime_Factor(n);
		if(sum==n) sum += 1;
		cout << sum<< endl;
	}
return 0; } 

欢迎在评论区留言。 如果这篇文章对你产生了帮助，就请给博主一个赞吧！大家的点赞是我创作的最大动力！