Dice (III) LightOJ - 1248（概率期望+几何分布（n面骰子，问看到所有的面一次的至少所需掷骰子次数的期望）

LOJ—1248

题意：

一个均匀的骰子有n个面 投色子, 要求最后要把骰子的每一面都看到了, 求扔骰子次数的期望。

分析：

1.几何分布

上面我们定义只要E(x)=1/P,P表示第k次成功的概率

扔出第一面成功的概率为P=1，E=1,因为第一面肯定没见过。

扔出第二面成功的概率为P=(n-1)/n,E=n/(n-1)（因为实验独立，所以有n-1个可以当作第二面）

扔出第i面成功的概率为P=(n-i-1)/n ,E=n/(n-i+1)

扔出第n面成功的概率为P=1/n ,E=n

累加E即可

2.期望DP

设dp[i]为已经扔了i个不同面的期望值 ，dp[n] = 0 求dp[0]

那我们每次可能扔中已经扔过的面或者没有扔到过的面2中情况：

1.该面在前面已经出现过概率：（i-1）/n，E= F(i - 1) * ((i - 1) / n)
2.该面已经未出现过概率：(n-（i+1）)/n，E= F(i) * ((n - (i - 1)) / n)

则状态方程：F(i) = F(i - 1) * ((i - 1) / n) + 1 + F(i) * ((n - (i - 1)) / n)。
解得F(i) = F(i - 1) + (n / (i - 1))。

几何分布：

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#define nmax 510
using namespace std;
int cas=0,T,n;
int main(){
 
        scanf("%d",&T); 
        while(T--)
		{
        	cas++;
        	cin>>n;
        	double sum=0;
        	
        	//System.out.println(t);
        	for(int i=1;i<=n;i++){ 
        	   sum+=n*1.0/i*1.0;
        	}
        	
        printf("Case %d: %lf\n",cas,sum);
        }
 }

期望DP：

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#include 
using namespace std;
const int maxn = 1e5+10;
double dp[maxn];
int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    int cas = 0;
    while(t--) {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        dp[1] = 1.0;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i-1] + double(n) / (double(i) - 1.0);
        }
        printf("Case %d: %.10lf\n", ++cas, dp[n]);
    }
}