洛谷_P1962_斐波那契数列

这道题是洛谷上提高+/省选-的题目.

看上去是道简单的斐波那契数列, 可是看看数据范围, 用普通的递推方式肯定超时.

那么这道题该怎么做呢?

标准的做法似乎是矩阵快速幂(题解提到), 然而笔者还不会, 再看题解, 发现有其他的方法. 是一个从没见过或者见过但没有印象的斐波那契数的性质

f(2n) = f(n+1)^2 - f(n-1)^2;
f(2n+1) = f(n+1)^2 + f(n)^2;

这样的话, 求解一个很大的n, 就可以对折求解了, 时间复杂度为O(logn)?
应该是吧.

方法是用递归, 记忆化搜索, 但是记忆的结果不是储存在数组里面的, 而是储存在map里, 因为开不了这么大的数组(结果是离散的, 并不连续)

因为map的缘故, 效率比矩阵快速幂要低了不少, 不过

对于蒟蒻的我来说, 比赛的时候更愿意用这种方法. 因为它更好写, 而且能AC.

附代码

#include 
#define N 1000000007

using namespace std;

map < long long, long long > mm;

long long fib(long long n) {
    if(n == 1) return 1;
    if(n == 2) return 1;
    if(mm.find(n) == mm.end()) {
        if(n%2 == 0) mm[n] = fib(n/2+1)*fib(n/2+1) % N - fib(n/2-1)*fib(n/2-1) % N;
        else mm[n] = fib((n+1)/2) * fib((n+1)/2) % N + fib((n-1)/2) * fib((n-1)/2) % N;
    }
    return mm[n];
}

int main()
{
    mm[1] = 1, mm[2] = 1;
    long long n;
    cin >> n;
    cout << fib(n) % N;
}