[补充内容]关于使用matlab进行方程组求解的线性代数相关知识补充——n维向量

前言

根据李永乐老师课程学习。主要记载n维向量相关的性质、定理等知识，不会进行定理推导、证明。

n维向量

定义：n个数a₁,a₂,a₃…a_n构成的有序数组称为n维向量。
n维向量分为：
 n维行向量

 或

 n维列向量

 或

如果向量的所有分量都是0，就称其为0向量。
如果两个向量对应位置元素相等，那么就称这两个向量相等。
向量的加法

运算法则.
n维向量就是一个1Xn的矩阵，因此运算法则和矩阵相同。

线性组合

m个n维向量α₁，α₂…α_m与m个实数k₁,k₂,k₃…k_m。称

是向量α₁，α₂…α_m的线性组合，k₁,k₂,k₃…k_m是线性组合的系数。
定义：如果向量β能表示称为α₁，α₂…α_m的线性组合，即
β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m
称向量β可由α₁，α₂…α_m线性表出。
定理：向量β可由α₁，α₂…α_m线性表示⇔存在k₁,k₂,k₃…k_m，使β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m
也可以写成：

存在的k在求解过程中就相当于未知数x。

根据前面的讲解，这个方程有解就要求

矩阵A和B等价	A经初等变换可以变成B
向量组（1）和（2）等价	（1）和（2）可互相线性表示

定理：如果向量组β₁β₂…β_t可由向量组α₁，α₂…α_s线性表示，则r（B）≤r（A），其中B=（β₁β₂…β_t），A=（α₁，α₂…α_s）
推论：向量组A：α₁，α₂…α_s和B：β₁β₂…β_t等价⇔r(A)=r(B)=r(A,B)

线性相关

定义：给定m个n维向量α₁，α₂…α_m，如果存在不全为k₁,k₂,k₃…k_m使得
k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=0
则称向量组α₁，α₂…α_m线性相关，否则称它线性无关。
推论：1.n个n维向量α₁，α₂…α_n相关⇔|α₁，α₂…α_n|=0
   2.n+1个n维向量比线性相关。
   3.n个n维向量α₁，α₂…α_n相关，则α₁，α₂…α_n…α_t必线性相关。
   4.n个n维向量α₁，α₂…α_n无关，若向量延长，仍无关。
定理：向量组α₁，α₂…α_s（s≥2）线性相关⇔至少有一个向量α_i可由其余向量线性表出。（注意，这里是至少，不是任意）
定理：如n维向量α₁，α₂…α_n线性无关，而α₁，α₂…α_sβ线性相关，则向量β必能由α₁，α₂…α_n线性表示，且表示方法唯一。
定理：如α₁，α₂…α_s可由β₁β₂…β_t线性表示，且s>t,则α₁，α₂…α_s必线性相关。
推论：如α₁，α₂…α_s线性无关，且α₁，α₂…α_s可由β₁β₂…β_t线性表示，则s≤t。
如果k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=0，必有k₁,k₂,k₃…k_m必为0，则α₁，α₂…α_m线性无关。

向量组的秩

极大无关组定义：在向量组α₁，α₂…α_s中，如存在r个向量α_i1，α_i2…α_ir线性无关，再添加任意一个α_j（j=1,2…s），向量组α_i1，α_i2…α_irα_ij就线性相关，则称α_i1，α_i2…α_ir是向量α₁，α₂…α_s的一个极大无关组。
定理：如果两个向量组都是另一个向量组的最大无关组，纳米这两个向量组向量个数相同。
向量组的秩：向量组的最大无关向量组中存在的向量个数r就是向量组的秩。
定理：矩阵的行向量的秩等于矩阵的列向量的秩等于矩阵的秩。