[补充内容]概率论与数理统计01

样本空间与随机事件

事件被分为两种：随机现象、确定现象。
随机现象：在一定条件下具有多种可能的结果，且实验时无法预知哪种结果的现象。
随机实验的特征：可以在相同条件下重复进行；实现知道所有可能出现的结果；进行实验前并不知道那个实验结果会发生。
样本空间:随机实验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，记为S={e}，S中的元素e称为样本点。
随机事件：样本空间S的子集A称为随机事件A，简称事件A，当且仅当A中的某个样本点发生称事件A发生。事件A的表示可以使用集合，也可以使用语言来表示。
必然事件：如果把样本空间S看做事件，很显然S每次都会发生，那么S就是必然事件。
基本事件：事件当中只含有一个样本点。
不可能事件：如果事件是空寂，里面不包含任何采样点，记作Φ，则每次实验Φ都不发生，Φ称为不可能事件。

事件的相互关系及运算

事件的关系：
 1.A⊂B：A事件发生一定导致B发生。（A包含在B中）

 2.A=B⇔A⊂B且B⊂A（A与B范围相等）

 3.A∪B⇔存在x，x∈A或x∈B，A、B至少有一个发生。（A与B的和事件）

 4.A∩B⇔存在x，x∈A且x∈B，A与B的积事件，也可以写作A·B、AB。（A与B同时发生）

 5.A与B互斥（不相容），记作AB=Φ

 5.A与B的差事件，存在x，x∈A,但x∉B，记作A-B。

 6.A的逆事件，记为$\overline{\text{A}}$，也称A的对立事件。A∪$\overline{\text{A}}$=S；A$\overline{\text{A}}$=Φ；$\overline{\text{A}}$的逆等于A。

事件的运算定律
交换律：A∪B=B∪A；A∩ B=B∩ A
结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C;A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
对偶律：$\overline{\text{A∪B}}$=$\overline{\text{A}}$∩$\overline{\text{B}}$；$\overline{\text{A∩B}}$=$\overline{\text{A}}$∪$\overline{\text{B}}$（摩根定律）可以推广到n项之间。

频率

频率是0~1之间的一个实数，在大量重复试验的基础上，给出了随机事件可能性的评估。
频率f_n(A)=n_A/n；其中n_A是A发生的次数（频率），n是试验的总次数，称f_n(A)为A在这n次实验中发生的频率。
频率的性质：
 1.0≤f_n(A)≤1
 2.f_n(S)=1
 3.若A₁,A₂…A_n两两互不相容，则f_n(A₁∪A₂∪…∪A_n)=∑^k_i=1f_n(A_i)
频率具有稳定性，f_n(A)随着n的增大逐渐稳定，稳定值为p（概率）。

概率

概率的统计性定义：当试验次数增加时，随机事件A发生的频率稳定值p称为概率，记作P(A)=p。
概率的功利化定义：设随机实验对应的样本空间为S，对于每个事件A，定义P(A)，满足：
 1.非负性，P(A)≥0
 2.规范性，P(S)=1
 3.可列可加性，若A₁,A₂…A_n两两互不相容，则f_n(A₁∪A₂∪…∪A_n)=∑^k_i=1f_n(A_i)
   就称P(A)为事件A的概率。
一些结论：
 1.P(Φ)=0
 2.P(A)=1-P($\overline{\text{A}}$)
 3.若A₁,A₂…A_n两两互不相容⇒f_n(A₁∪A₂∪…∪A_n)=∑^k_i=1f_n(A_i)
 4.若A⊂B，则有P(B-A)=P(B)-P(A)

 更一般的情况下，P(B-A)=P(B)-P(AB)

概率的加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)此等式可以推广到多个事件。