统计全为1的正方形子矩阵--动态规划
leetcode 1277
统计全为1的正方形子矩阵
给你一个m*n的矩阵，矩阵中的元素不是0就是1,请你统计并返回其中完全由1组成的正方形子矩阵的个数
示例 1：
输入：matrix =
[
[0,1,1,1],
[1,1,1,1],
[0,1,1,1]
]
输出：15
解释：
边长为 1 的正方形有 10 个。
边长为 2 的正方形有 4 个。
边长为 3 的正方形有 1 个。
正方形的总数 = 10 + 4 + 1 = 15.
示例2：
输入：matrix =
[
[1,0,1],
[1,1,0],
[1,1,0]
]
输出：7
解释：
边长为 1 的正方形有 6 个。
边长为 2 的正方形有 1 个。
正方形的总数 = 6 + 1 = 7.
解法1：右下方扩展法
思路：其实一个大的正方形矩阵可以有小的正方形组成，我们对每一个正方形往左下方扩展，就能得到正方形的个数，举个例子
1,1,1,1
1,1,1,0
1,0,1,0
我们看第一个元素，往外扩展一圈，得到元素是1,1,1,再扩展一圈，得到的是1,1,1,0,1,发现有一个不是正方形，我们就退出扩展，返回扩展的长度1，依次类推，就能得到正方形子矩阵的个数
完整代码
int expand(int i, int j, int dp[MAXN][MAXN], int rowsize, int colsize)
{
if(dp[i][j]==0)
return 0;
int size=1; //扩展长度
int row, col;
while(size)
{
if(i+size>=rowsize || j+size>=colsize) //超过范围
return size-1;
for(row=i+size,col=j; col<=j+size; col++) //遍历外围行
if(dp[row][col]==0)
return size-1;
for(col=j+size,row=i; row<=i+size; row++)//遍历外围列
if(dp[row][col]==0)
return size-1;
size++;
}
}
int countSquares(int matrix[MAXN][MAXN], int rowsize, int colsize){
int dp[MAXN][MAXN];
int i, j;
int num=0;
for(i=0; i时间复杂度为O(MNMAX(M,N))，在遍历二维数组的时候时间复杂度为O(M*N),在扩展时还需要遍历一行一列数据
空间复杂度为O(M*N),二维数组(dp)的大小
解法2：动态规划
这一解法是leetcode官方解法，前面的解法是我自己的解法
思路：该解法和上面解法思路基本相同，但是在扩展的时候，使用了动态规划的思想，因此我们需要先了解一下它的动态规划转移方程是怎样的，还有它是如何推导得到的
先看一个例子
1,1,1,1,
1,1,1,1,
1,1,1,1,
1,1,1,1,
我们用f(i,j)作为一个正方形的右下角，它保存着正方形子矩阵的个数
我们可以看到，f(i,j-1),f(i-1,j),f(i-1,j-1)都表示3个正方形矩阵个数，也就是f(i,j)-1,即f(i,j-1),f(i-1,j),f(i-1,j-1)至少等于f(i,j)-1,因此我们可以得到转移方程
完整代码
int min(int a, int b, int c)
{
if(a时间复杂度O(M*N)只需遍历一遍二维数组
空间复杂度O(M*N),保存值dp数组
体会
该算法比我的要好得多，不仅简洁，而且时间复杂度降低，其实算法思路是一样的，但是动态规划的思想就是减少重复运算，保存已经计算过的值，以便后来可以重复使用，使用动态规划时应该找出边界条件还有状态转移方程
题目来源以及解法参考：
作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/count-square-submatrices-with-all-ones/solution/tong-ji-quan-wei-1-de-zheng-fang-xing-zi-ju-zhen-2/
来源：力扣（LeetCode）
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