矩阵乘法和逆

矩阵乘法

法一：
假设$A$是$m\times n$矩阵，$B$是$n\times p$矩阵，$AB=C$，则$c_{ij}=a_{i1}{b}_{1j}+a_{i2}{b}_{2j}+\cdots +a_{in}{b}_{nj}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$
法二：
将乘法考虑为矩阵乘以向量，将$B$看成$p$个单独的列向量，然后用$A$乘以每个列向量，得到$C$中的每一列。
法三：
$A$的每一行乘以$B$得到$C$中的每一行，$C$中的各行是$B$中各行的线性组合。
法四：
$AB=A$中各列与$B$各行的乘积之和$=$列一×行一+列二×行二+$\cdots$
如$\left[\begin{array}{cc}2& 7\\ 3& 8\\ 4& 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 6\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}7\\ 8\\ 9\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2& 12\\ 3& 18\\ 4& 24\end{array}\right]$
法五：
分块乘法

矩阵的逆

首先不是所有的矩阵都存在逆，假设$A$为方阵，并且逆存在，则有
$$A^{-1}A=A{A}^{-1}=I$$
对于方阵而言，左逆等于右逆，但是如果$A$为非方阵，左逆就不等于右逆。通常我们称不可逆矩阵为奇异矩阵。下面看看不可逆的情况：$A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right]$
为什么$A$不可逆呢？首先$A$对应的行列式$|A|=0$，这个可以用于判断$n$阶方阵$A$是否可逆。其次，如果存在非零向量$x$，使$Ax=0$，则$A$不可逆。在这里取$x=\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right]$，有
$$Ax=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]$$
即奇异矩阵的各列通过线性组合能够得到零向量。

高斯-若尔当消元

设$A=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right]$，那么如何求$A^{-1}$呢？按照逆的定义，有
$$\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
按照矩阵乘法，有
$$\{\begin{array}{r}\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\end{array}$$
解此方程组即可。但是该方法比较麻烦，高斯-若尔当(Gauss-Jordan)方法可以一次处理所有的方程。构造这样的方程$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ 2& 7& 0& 1\end{array}\right]$，左侧为矩阵$A$，右侧为$I$，接下来通过消元法，将左侧变为单位阵，右侧即为$A$的逆矩阵。具体过程如下：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ 2& 7& 0& 1\end{array}\right]\text{row2-2row1}\left[\begin{array}{cccc}1& 3& 1& 0\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right]\text{row1-3row2}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 7& -3\\ 0& 1& -2& 1\end{array}\right]$$
所以$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}7& -3\\ -2& 1\end{array}\right]$
总结：
求$A^{-1}$的方法
$$\left[\begin{array}{cc}A& I\end{array}\right]\text{消元}\left[\begin{array}{cc}I& A^{-1}\end{array}\right]$$