(2020多校)H.Minimum-cost Flow(费用流的增广路)

传送门看这里吧

这题没有考察建图,而是考察费用流的本质。

比如每次spfa只会找一条增广路

比如越先找到的增广路花费一定越小

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$首先发现容量为u/v是没办法算的(分数)$

$边容量u/v,最大流是1$

$转化为边容量u,最大流是v(这样花费最后要除以v)$

$面对这么多询问,我们预处理一下每条增广路的花费就行了$

$按题目建图,流量暂时设置为1,因为好算$

$每次spfa后,到t的流量一定是1,所以只需要记录每条增广路的花费在path数组$

$那么现在每个询问里边容量是u,最大流是v$

$设v=au+b(b<u)$

$因为每条边的容量是u,所以至少需要a条增广路$

$如果b不为0,那么第a+1条增广路需要走\frac{b}{u}$

$所以设sumn是path的前缀和数组$

$花费是sumn[x]+path[x+1]\ast b/u$

但是不要忘记sumn是容量为1的花费

现在容量是u,那么还需要乘以u

$所以花费是sumn[x]\ast u+path[x+1]\ast b$

$再除以v就好啦!因为1到n只需要1的流量而不是v的流量$

#include 
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=2e5+10;
const int inf=1e9;
int n,m,s,t;
struct edge{
	int to,nxt,flow,w;
}d[maxn]; int head[maxn],cnt=1;
void add(int u,int v,int flow,int w){
	d[++cnt]=(edge){v,head[u],flow,w},head[u]=cnt;
	d[++cnt]=(edge){u,head[v],0,-w},head[v]=cnt;
}
int dis[maxn],vis[maxn],top,path[maxn],sumn[maxn],flow[maxn],pre[maxn];
bool spfa()
{
	for(int i=0;i<=t;i++)	dis[i]=inf,vis[i]=0;
	dis[s]=0; flow[s]=inf;
	queueq; q.push( s );
	while( !q.empty() )
	{
		int u=q.front(); q.pop();
		vis[u]=0;
		for(int i=head[u];i;i=d[i].nxt )
		{
			int v=d[i].to;
			if( d[i].flow&&dis[v]>dis[u]+d[i].w )
			{
				dis[v]=dis[u]+d[i].w;
				flow[v]=min( flow[u],d[i].flow );
				pre[v]=i;
				if( !vis[v] )	vis[v]=1,q.push( v );
			}
		}
	}
	return dis[t]!=inf;
}
void dinic()
{
	while( spfa() )
	{
		int x=t;
		path[++top]=dis[t];	//第top条增广路的花费,流量一定是1,所以没乘flow[t] 
		while( x!=s )
		{
			int i=pre[x];
			d[i].flow-=1;
			d[i^1].flow+=1;
			x=d[i^1].to;
		}
	}
}
int gcd(int a,int b){
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
signed main()
{
	while( cin >> n >> m )
	{
		for(int i=1;i<=m;i++ )
		{
			int l,r,w;
			scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&w);
			add(l,r,1,w);
		}
		s=1,t=n;
		dinic();
		for(int i=1;i<=top;i++)	sumn[i]=sumn[i-1]+path[i];
		int q; cin >> q;
		while( q-- )
		{
			int u,v;
			scanf("%lld%lld",&u,&v);
			if( u==0 )
			{
				cout << "NaN\n";
				continue;
			}
			int x=v/u,y=v%u;
			if( x>top || ((x+1)>top&&y) )	cout << "NaN\n";
			else
			{
				int cost=sumn[x]*u+path[x+1]*y;
				int yin=gcd(cost,v);
				printf("%lld/%lld\n",cost/yin,v/yin);
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)	head[i]=0;
		cnt=1,top=0;
	}
}