每日一题.每日一练 .15圆圈中最后剩下的数字（为什么没有14，因为几何比约瑟夫环难多了，现在还没明白）（“铡刀思想”，或者叫咔擦思想）

这篇文章是我通过灵感所写的是一种全新的理解约瑟夫环的方法，希望能帮到一些还没有理解的朋友。所以我会尽力详细的讲述这篇文章。

面试题62. 圆圈中最后剩下的数字
0,1,n-1这n个数字排成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈里删除第m个数字。求出这个圆圈里剩下的最后一个数字。

例如，0、1、2、3、4这5个数字组成一个圆圈，从数字0开始每次删除第3个数字，则删除的前4个数字依次是2、0、4、1，因此最后剩下的数字是3。

示例 1：

输入: n = 5, m = 3
输出: 3

示例 2：

输入: n = 10, m = 17
输出: 2

在这前我们先来了解一下约瑟夫环问题：

17世纪的法国数学家加斯帕在《数目的游戏问题》中讲了这样一个故事：15个教徒和15 个非教徒在深海上遇险，必须将一半的人投入海中，其余的人才能幸免于难，于是想了一个办法：30个人围成一圆圈，从第一个人开始依次报数，每数到第九个人就将他扔入大海，如此循环进行直到仅余15个人为止。问怎样排法，才能使每次投入大海的都是非教徒。（还有另一个版本但是他太长了==）

如果死去的人灵魂还能占着空位，这题会变的非常简单，如果我们每次扔进海里一个就重新从开头数数，这题也会非常简单，然而并不能，所以约瑟夫环的问题就有两个：
1：我们没有固定的环长，意味着我们数着的数肯定不成倍数增加（也就是没有什么明显的规律）：
2：没有固定的开始地点，这个人被扔海里接着数后面的，所以我们之后的会受到环长的影响。

感谢在我尝试理解约瑟夫环的过程中，一位大佬的文章里提到了

每当一个人被推进海里时，所有的索引值会前进m，

也就是我们每次数到就要杀人的那个数，所有的索引值都要前进m，为什么，我们不是死了一个人吗，为什么索引值前进了那么多呢”但是，随着思考我突然冒出了一种新的思想，这种思想我称为“铡刀思想”（淦））

这种思想的根本在于，我们通常会把数数的过程看做指针的移动，当指针移动到符合条件时，我们删掉（杀掉）这个人，接着让指针往下移动，这是一般的想法，而"铡刀思想"并非如此,在“铡刀思想”里移动的不是“”铡刀”（指针），而是人（数组）

这种思想是这样，由于我们最后肯定会剩下一个数据，这个数据的索引值必定是0，所以我们在数组的开始设置一个铡刀，你可以认为是这样（这里我们用实例1的数据）

“”“”“”“”“”“”“”“”铡刀 0 ， 1， 2 ， 3 ， 4（引号是为了对齐和下面的情况对齐，抱歉我是个菜鸟）

然后我们对着人（数组）喊，过来吧，由于n=3，所以每当过来到第三个人的时候，我们就咔嚓一刀

0 ，1 ，2（铡刀到3，咔擦！），3，4

2阵亡了，由于这是一个环，我们跟 0 和 1 说，你回去接着排队吧，0，1：诶好嘞

“”“”“”“”“”“”“”“”铡刀 3 ，4，0，1

然后我们对这个过程进行周而复始的循环，直到最后只剩一个人站在铡刀前，也就是索引值为0的位置

“”“”“”“”“”“”“”“”“铡刀 3

恭喜3获得了大逃杀的胜利（雾）

也就是说，“铡刀思想”的根本在于删除点一直在数组的最前端，而我们是通过让人走过铡刀，回到队尾来实行计数，每有走过铡刀的过程我们就记+1，如果加完变成n我们就咔擦一刀，然后归零。

那么现在，我们将所有过程反推，最后一个元素（在这个事例中是3）是怎么来到铡刀面前呢？（3的索引值变成0），而“铡刀思想”的妙处就在于，他给出了每一次在咔擦后索引值的变化，”由于每次数组都是整体移动，我们可以认为每个元素在两次咔嚓间都进行了m单位的左位移”（重点）

我们回到上一个过程，另一个元素在和3斗智斗勇的时候，他们两个经历了轮流走到后面的过程，我们就叫他甲好了，那么喊号过程是这样的

铡刀计数为零

铡刀， 甲， 3

铡刀计数为1，甲通过

铡刀 ，3 ，甲

铡刀计数为2，3通过

铡刀 ，甲 ，3

铡刀计数在甲走的时候变成了3 咔嚓一刀甲没了

铡刀 3 （你赢了）

我们看一下这个移动过程就会发现，尽管3进行了左m单位的位移，但是这里面出现了跑圈现象，3并不是没有经过铡刀，而是经过铡刀成功跑了一圈，于是我们将这个过程反推，把左位移用右位移倒放回去，注意此时3的索引值是零，我们假设一秒动一次

“”“”“”“”“”0， 1（索引值）
现在：3 ，甲（如果没死的话）
前1秒：甲，3
前2秒：3，甲
前3秒：甲，3

我们可以看到，3在每往右移两个单位就要回到原处，也就是说，3实际上发生的位移是3%2=1，跑一圈甚至几圈不会对3造成实际的位移。于是我们的上一时刻的索引值便有如下推导式

上一时刻索引值=（当前索引值+右移位移距离）%上一时刻圈长

我们代入数据验证一下

（0+3）%2=1

由此我们的两个问题就都解决了：
一方面，我们固定在开始删除人。
另一方面，我们把圈长的变化精确到了每个时刻。

于是我们可以利用递推不断推胜利者在上个时刻的位置，最后便可得到得到在最初时刻的时候，也就是圈长为n的时候，胜利者的索引值

好，说了这么多，我们来总结一下过程

整个过程在执行这三部分
队列整体移动
咔嚓（在开始删人）
圈长减小

移动的值是个定值这点是思想的核心。因此删掉的人是否占位只会影响圈长的大小，而不影响整体移动的量

于是代码如下：

class Solution:
    def lastRemaining(self, n: int, m: int) -> int:
        f = 0 #最后胜利者索引值为0
        for i in range(2, n + 1):     #对于每个上一时刻时刻的圈长的逆推，变化从2到n
            f = (m + f) % i     #m+f是将这时刻的索引值推回上一时刻，%i是不算跑圈后得到实际更新的索引值
        return f        #在最后的索引值，即全场为n，刚开始是胜利者的索引

而这题我们把n想成一个数组，会发现n的索引值和留下来的数据是相等的，
所以输出索引值等于输出数值，其他情况做些加减便好

咔嚓！