LeetCode 1406. 石子游戏

1406. 石子游戏

题目

Alice 和 Bob 用几堆石子在做游戏。几堆石子排成一行，每堆石子都对应一个得分，由数组 stoneValue 给出。

Alice 和 Bob 轮流取石子，Alice 总是先开始。在每个玩家的回合中，该玩家可以拿走剩下石子中的的前 1、2 或 3 堆石子 。比赛一直持续到所有石头都被拿走。

每个玩家的最终得分为他所拿到的每堆石子的对应得分之和。每个玩家的初始分数都是 0 。比赛的目标是决出最高分，得分最高的选手将会赢得比赛，比赛也可能会出现平局。

假设 Alice 和 Bob 都采取 最优策略 。如果 Alice 赢了就返回 “Alice” ，Bob 赢了就返回 “Bob”，平局（分数相同）返回 “Tie” 。

例子

输入：values = [1,2,3,7]
输出：“Bob”
解释：Alice 总是会输，她的最佳选择是拿走前三堆，得分变成 6 。但是 Bob 的得分为 7，Bob 获胜。

输入：values = [1,2,3,-9]
输出：“Alice”
解释：Alice 要想获胜就必须在第一个回合拿走前三堆石子，给 Bob 留下负分。
如果 Alice 只拿走第一堆，那么她的得分为 1，接下来 Bob 拿走第二、三堆，得分为 5 。之后 Alice 只能拿到分数 -9 的石子堆，输掉比赛。
如果 Alice 拿走前两堆，那么她的得分为 3，接下来 Bob 拿走第三堆，得分为 3 。之后 Alice 只能拿到分数 -9 的石子堆，同样会输掉比赛。
注意，他们都应该采取 最优策略 ，所以在这里 Alice 将选择能够使她获胜的方案。

题解

后缀和+动态规划。
该问题是一个典型的零和博弈问题（石子总数不变，一方获得多，另一方必然获得少），两方都在每一步执行最优策略，即双方执行每一步策略都要使得自己获得的石子最大（使对方获得的石子最少）。题目中说，一个人只能选择拿走前k堆（1

• 只取一堆，那么后手玩家的最优选择为dp[i+1]，先手后手玩家所获得的石子的和等于i到n的和，所以dp[i] = suffix_sum[i]-dp[i+1]
• 同理，只取两堆：dp[i] = suffix_sum[i]-dp[i+2]
• 同理，只取两堆：dp[i] = suffix_sum[i]-dp[i+3]
  dp[i]=max(以上三种情况)

代码

class Solution {
    public String stoneGameIII(int[] stoneValue) {
        int n = stoneValue.length;
        int[] suffixSum = new int[n];
        suffixSum[n - 1] = stoneValue[n - 1];
        for (int i = n - 2; i >= 0; --i) { // 求后缀和
            suffixSum[i] = suffixSum[i + 1] + stoneValue[i];
        }
        int[] f = new int[n + 1];
        // 边界情况，当没有石子时，分数为 0
        // 为了代码的可读性，显式声明
        f[n] = 0;
        for (int i = n - 1; i >= 0; --i) {
            int bestj = f[i + 1]; //找到后手玩家获得石子最少的情况
            for (int j = i + 2; j <= i + 3 && j <= n; ++j) {
                bestj = Math.min(bestj, f[j]);
            }
            f[i] = suffixSum[i] - bestj;
        }
        int total = 0;
        for (int value : stoneValue) {
            total += value;
        }
        if (f[0] * 2 == total) {
            return "Tie";
        } else {
            return f[0] * 2 > total ? "Alice" : "Bob";
        }
    }
}