[转]三分法——求解凸性函数的极值问题——czyuan原创

2009年05月26日 星期二 23:40

二分法作为分治中最常见的方法，适用于单调函数，逼近求解某点的值。但当函数是凸性函数时，二分法就无法适用，这时三分法就可以“大显身手”～～        如图，类似二分的定义Left和Right，mid = (Left + Right) / 2，midmid = (mid + Right) / 2; 如果mid靠近极值点，则Right = midmid；否则(即midmid靠近极值点)，则Left = mid; 程序模版如下： double Calc(Type a) {     /* 根据题目的意思计算 */ } void Solve(void) {     double Left, Right;     double mid, midmid;     double mid_value, midmid_value;     Left = MIN; Right = MAX;     while (Left + EPS < Right)     {         mid = (Left + Right) / 2;         midmid = (mid + Right) / 2;         mid_area = Calc(mid);         midmid_area = Calc(midmid);         // 假设求解最大极值.         if (mid_area >= midmid_area) Right = midmid;         else Left = mid;     } } 现根据几道的OJ题目来分析三分法的具体实现。 buaa 1033 Easy Problem http://acm.buaa.edu.cn/oj/problem_show.php?c=0&p=1033 题意为在一条线段上找到一点，与给定的Ｐ点距离最小。很明显的凸性函数，用三分法来解决。 Calc函数即为求某点到P点的距离。 ZOJ 3203 Light Bulb http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3203 如图，人左右走动，求影子L的最长长度。 根据图，很容易发现当灯，人的头部和墙角成一条直线时(假设此时人站在A点)，此时的长度是影子全在地上的最长长度。当人再向右走时，影子开始投影到墙上，当人贴着墙，影子长度即为人的高度。所以当人从A点走到墙，函数是先递增再递减，为凸性函数，所以我们可以用三分法来求解。 下面只给出Calc函数，其他直接套模版即可。 double Calc(double x) {     return (h * D - H * x) / (D - x) + x; } heru 5081 Turn the corner 08年哈尔滨regional网络赛 http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&id=1280 汽车拐弯问题，给定X, Y, l, d判断是否能够拐弯。首先当X或者Y小于d，那么一定不能。 其次我们发现随着角度θ的增大，最大高度ｈ先增长后减小，即为凸性函数，可以用三分法来求解。 这里的Calc函数需要比较繁琐的推倒公式： s = l * cos(θ) + w * sin(θ) - x; h = s * tan(θ) + w * cos(θ); 其中s为汽车最右边的点离拐角的水平距离, h为里拐点最高的距离, θ范围从0到90。 POJ 3301 Texas Trip http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3301 题意为给定n(n <= 30)个点，求出饱含这些点的面积最小的正方形。 有两种解法，一种为逼近法，就是每次m分角度，求出最符合的角度，再继续m分，如此进行times次，即可求出较为精确的解。(m 大概取10, times取30即可) 第二种解法即为三分法，首先旋转的角度只要在0到180度即可，超过180度跟前面的相同的。坐标轴旋转后，坐标变换为： X’ = x * cosa - y * sina; y’ = y * cosa + x * sina; 至于这题的函数是否是凸性的，为什么是凸性的，我也无法给出准确的证明，希望哪位路过的大牛指点一下～～ 例题更新(2010.5.5) hdu 3400 Line belt http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3400 典型的三分法，先三分第一条线段，找到一个点，然后根据这个点再三分第二条线段即可，想出三分的思路基本就可以过了。 对于求解一些实际问题，当公式难以推导出来时，二分、三分法可以较为精确地求解出一些临界值，且效率也是令人满意的。 /* czyuan原创，转载请注明出处。*/ 顺便附上咱的hdu 3400代码 #include using namespace std; #include #include #include #define eps 1e-8 typedef struct { double x,y; }node; node t[4]; double p,q,r; inline double Dist(node a,node b) { double y=(a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(a.y-b.y)*(a.y-b.y); return sqrt(y+eps); } double __get(double r1,double r2) { node l,re; l.x=t[0].x+(t[1].x-t[0].x)*r1; l.y=t[0].y+(t[1].y-t[0].y)*r1; re.x=t[2].x+(t[3].x-t[2].x)*(1-r2); re.y=t[2].y+(t[3].y-t[2].y)*(1-r2); return Dist(l,t[0])/p+Dist(l,re)/r+Dist(re,t[3])/q; } double _get(double r) { double left=0,right=1; while(left+eps__get(mmid,r)) left=mid; else right=mmid; } return __get(left,r); } int main() { //freopen("input","r",stdin); // freopen("output","w",stdout); int T; cin>>T; while(T--) { for(int i=0;i<4;i++) scanf("%lf %lf",&t[i].x,&t[i].y); scanf("%lf %lf %lf",&p,&q,&r); double left=0,right=1; while(left+eps_get(mmid)) left=mid; else right=mmid; } printf("%.2lf/n",_get(left)); } return 1; }