Longest Increasing Subsequence 最长上升子序列

给定一个无序的整数数组，找到其中最长上升子序列的长度。

示例:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4 
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101]，它的长度是 4。

说明:

• 可能会有多种最长上升子序列的组合，你只需要输出对应的长度即可。
• 你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

进阶: 你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log n) 吗?

思路：

这道题参考了博文的思路

https://www.cnblogs.com/grandyang/p/4938187.html

时间复杂度O(nlogn)，自己没想出来，而且感觉太复杂。具体思路如下：

维护一个递增数组dp，如果当前元素比dp的第一个元素小，就把第一个元素替换掉（覆盖第一个元素），如果比最后一个元素大，就插入到dp的最后（不覆盖最后一个元素），如果大小位于第一个元素和最后一个元素中，就通过二分法找到第一个大于该元素的位置，替换掉原始元素（覆盖）。

代码如下：

    int lengthOfLIS(vector& nums) {
	vector dp;
	if (nums.size() <= 0) {
		return 0;
	}
	dp.push_back(nums[0]);
	for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
		if (nums[i] < dp[0]) {
			dp[0] = nums[i];
			continue;
		}
		if (nums[i] > dp[dp.size() - 1]) {
			dp.push_back(nums[i]);
			continue;
		}
		int left = 0;
		int right = dp.size()-1;
		while (left < right) {
			int mid = left + (right - left) / 2;
			if (dp[mid] < nums[i]) {
				left = mid + 1;
			}
			else {
				right = mid;
			}
		}
		dp[right] = nums[i];
		     
    }
        return dp.size();  
    }

思路2：采用dp来做，通过维护一个一维数组dp来做，dp[i]表示到第i个元素的最长子序列的个数，那么dp[i+1]的值等于遍历[0,j]的元素（0<=j<=i），如果对应的nums[j]

dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);

如果遍历完j都没有元素满足nums[j]

参考代码：

    int lengthOfLIS(vector& nums) {
        if(nums.size()==0){
            return 0;
        }
	int *dp = new int[nums.size()];
	int res = 1;
	for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
		dp[i] = INT_MIN;
	}
	dp[0] = 1;
	for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
		for (int j = 0; j <= i; j++) {
			if (nums[j] < nums[i]) {
				dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i]);
				res = max(res, dp[i]);
			}
		}
        dp[i]=dp[i]==INT_MIN?1:dp[i];
	}

	delete[] dp;
	return res;        
    }

思路三：这道题还可以用二分查找+动态规划来做，声明一个一维的数组（初始化为空）res，其中res表示截止到下标i时，当前存的可能的最长递增子序列，注意这时res中不一定是递增的子序列，但是res的size就是当前最优的递增子序列的长度。

示例如下：

{0, 8, 4, 12, 2, 10, 6, 14, 1, 9, 5, 13, 3, 11, 7, 15}

A[0] = 0. Case 1. There are no active lists, create one.
0.
-----------------------------------------------------------------------------
A[1] = 8. Case 2. Clone and extend.
0.
0, 8.
-----------------------------------------------------------------------------
A[2] = 4. Case 3. Clone, extend and discard.
0.
0, 4.
0, 8. Discarded
-----------------------------------------------------------------------------
A[3] = 12. Case 2. Clone and extend.
0.
0, 4.
0, 4, 12.
-----------------------------------------------------------------------------
A[4] = 2. Case 3. Clone, extend and discard.
0.
0, 2.
0, 4. Discarded.
0, 4, 12.
-----------------------------------------------------------------------------
A[5] = 10. Case 3. Clone, extend and discard.
0.
0, 2.
0, 2, 10.
0, 4, 12. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[6] = 6. Case 3. Clone, extend and discard.
0.
0, 2.
0, 2, 6.
0, 2, 10. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[7] = 14. Case 2. Clone and extend.
0.
0, 2.
0, 2, 6.
0, 2, 6, 14.
-----------------------------------------------------------------------------
A[8] = 1. Case 3. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 2. Discarded.
0, 2, 6.
0, 2, 6, 14.
-----------------------------------------------------------------------------
A[9] = 9. Case 3. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 2, 6.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 14. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[10] = 5. Case 3. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 5.
0, 2, 6. Discarded.
0, 2, 6, 9.
-----------------------------------------------------------------------------
A[11] = 13. Case 2. Clone and extend.
0.
0, 1.
0, 1, 5.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 9, 13.
-----------------------------------------------------------------------------
A[12] = 3. Case 3. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 1, 5. Discarded.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 9, 13.
-----------------------------------------------------------------------------
A[13] = 11. Case 3. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 2, 6, 9.
0, 2, 6, 9, 11.
0, 2, 6, 9, 13. Discarded.
-----------------------------------------------------------------------------
A[14] = 7. Case 3. Clone, extend and discard.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 1, 3, 7.
0, 2, 6, 9. Discarded.
0, 2, 6, 9, 11.
----------------------------------------------------------------------------
A[15] = 15. Case 2. Clone and extend.
0.
0, 1.
0, 1, 3.
0, 1, 3, 7.
0, 2, 6, 9, 11.
0, 2, 6, 9, 11, 15. <-- LIS List
----------------------------------------------------------------------------

如图所示，每次我们都会维护多个队列，这样每个队列就是有序的，但是其实没必要这么复杂，我们只需要维护一个队列res即可。只需要遍历一遍原数组nums，每次取出当前值n=nums[i]，判断在res中第一个大于等于n的下标，覆盖下标对应的元素，如果没找到，证明比所有res的元素都大，那么在res的尾部加上n元素，最后返回res.size()即可。

参考代码（时间复杂度nlogn）：

 

class Solution {
public:
int lengthOfLIS(vector& nums) {
	vector res;
	for (int &n : nums) {
		auto it = lower_bound(res.begin(), res.end(), n);
		if (it == res.end()) res.push_back(n);
		else *it = n;
	}
	return res.size();
}
};