5种经典最短路径算法联系与区别

5种经典最短路径算法联系与区别

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  5种经典路径算法指的是$Dijkstra,Floyd,贝尔曼福德，SPFA，A\ast 算法$（出场顺序根据文章思路进行），本文不再赘述其各自的概念与内容（不清楚的请先查阅其他大佬的博客），按本人理解从中发觉其中的联系与区别。

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•     首先最经典的$Dijkstra$算法，我们通过其算法过程，可以概括为贪婪思想，逐步扩展，为什么这么说，根据算法过程，例如A点为起点，那么就有一个列表即A到各点的距离，从整体看每次都在更新列表以达到最小目的。 那是如何更新呢，分两步：
      一是从每次列表中取最小的点（记为M）即为A到此点M的最短距离，取最小即贪婪思想。
      二是以此找出最小的点为桥接点，通过比较A -> 终点 还是A->M->终点 大小进行“松弛“，（常见的松弛就是比较个大小而已），松弛完毕每个点，则更新列表值一次。 下次更新从更新后的剩余点中找最小。直到遍历所有点结束
    因为每次更新都是以第一步中的最小值为基础，所以这也是为什么此算法只能用于正值的根本所在，简单来说就是算法特点不会重回此点再去松弛，所以有负值时出现非最佳结果。

    $联系点：$那么我们可以看到Dijkstra 只能正权是因为不能回点松弛，那么为什么我非要取最小值为桥接点呢，我找一种办法让他可以回点松弛不就可以是负权了嘛，所以后来又产生了另一种算法叫贝尔曼福德。

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•     $贝尔曼福德$利用了最短路径的边特点，什么特点呢，即假设无回路下有N个点，查找最短路径最多松弛N-1次就有结果了，即把每个点都通过一遍。那贝尔曼福德咋做的呢，直接循环N-1次，每次都对各边松弛一下，这样绝对不会漏掉，简单粗暴，循环完N-1，我再来一遍松弛，发现有边还在变化，这是怎么了，这不符合我们的背景啊，所以出现这种情况即出现了回路，所以贝尔曼也是通过这个方法判断是否有回路存在。

    $联系点：$有人应该又看出了，我每次都松弛每个边，明明好多边都不用变的啊，这不浪费时间嘛，有没有一种办法能够精准定位松弛情况呢，所以又出现了一种算法解决这个问题，就是SPFA。

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•     $SPFA$算法一般博客中都说这个叫做队列优化后的贝尔曼，为啥这么说？ 其实很简单，所谓的队列优化就是用了广度优先算法BFS思想，BFS一般是用队列来实现的，好了有了这个能干嘛，假如我们还是那个A点到各点距离的列表，我们不找最小了，我们从起点开始找他的连通节点，连通节点松弛了，说明什么，说明连通节点松弛了，那么连通节点的连通节点有可能需要松弛啊，这里有点绕，简单来说就是我是小B和小C的哥，小D的叔，我娶了小B的姐，小B得换姐夫，小C还是哥，小D没他啥事 肯定还是叔，一个道理，根据这个特点，我们可以广度遍历的时候，每次都去判断是否去松弛 松弛过的点 所连通的点，这个操作就是通过队列来实现。

    $联系点：$好了，现在已经说了三个算法了，我们从宏观会发现，找到最短路径怎么也得遍历到所有的点或者说边才能找到，那么有没有一种直接关心遍历问题而产生的算法呢，Floyd即为此。

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•     $Floyd$又称为插点法，为啥，他就是关心你到最短路径是否考虑到了存在的所有点，从动态规划的角度，可以从小到大，比如有N个点，一开始我就只考虑起点与终点之间就一个点的时候，很好算松弛一下是吧，那么往下考虑有俩点呢，在之前基础上再松弛一下，好了考虑到所有点之后，最短路径就出来了。思想简单，代码更简单。自行查找。

    $联系点：$最后一个A算法，与前边都不同，他属于启发式，但是并不无联系，他最大联系在于与Dijlstra的联系，Dijlstra应用的是实际距离作为判断数据，他无方向性的去判断最小，贪婪前行，性能肯定比有方向的更差，那有什么办法让算法向结果方向进行呢，即A

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•     $A\ast$之所以叫启发式，是因为他有一个很特别的东西叫评估函数，f=g+h, g可以看作Dijlstra中的实际距离，h为评估距离，而A比较的依据是f值，Dijlstra依据是g值，所以很容易看到联系，当h为0时，两者相等，A退化为Dijlstra，h=0,说明没有方向性， 那h是啥，咋确定，一般应用曼哈顿距离，就是X,Y各轴相差的绝对值和。 A具体算法不再赘述，靠理解来说就是Dijlstra判断最小用g值，松弛更新也用g值判断， 而A判断最小用f值，松弛更新用g值判断。 本质区别就是f含有向终点方向的程度值，使得朝向终点找最短路径，无疑更为快速。

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以上，认真理解的小伙伴，应该已经看到了他们的区别与联系。简单总结：

• Dijkstra 适用范围：单源 正权 无回路 方式：贪婪无向扩展
• 贝尔曼 适用范围：单源 正负权 无回路 方式：暴力松弛
• SPFA 适用范围：单源 正负权 无回路 方式：更精确去松弛的贝尔曼
• Floyd 适用范围：多源 正负权 无回路 方式：遍历考虑所有点
• A* 适用范围：点对 正权 无回路 方式：贪婪评估有向扩展

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所有以上算法 都是静态图，即点不会动的去查找， 目前更高级的人工智能机器人都需要动态查找路径，D* ，D* Lite之类的算法产生，有兴趣的同学继续深入~。