[LeetCode] 局部图论问题探讨-图成环、图度、关键路径、拓扑排序等问题

写在前面

前面的笔记集分别探讨了图的遍历、图的最小路径和最小生成树问题，本笔记将着重探讨图中其他典型问题，比如图是否成环、图的度使用（无向图）、图的入度和出度使用（有向图）、图的关键路径和拓扑序问题，关键的LT题目和解法可见笔记A。此笔记作为笔记A提领知识的补充和总结。

拓扑排序

拓扑排序的算法骨架是：

图是否成环

图的问题如果复杂起来，一般需要借助图的度解题，如果是有向图则需要借助图的入度和出度解题。

无向图的判环有两个方法：

方法1：采用类似有向图的拓扑排序方法，
(1)求所有节点的度
(2)将度小于等于1的节点删除掉，并重复这步操作
(3)若图中仍存在未被删除的节点，则图成环，否则图不成环
这个方法只能判断图是否成环，即得到一个bool值，但是无法知道又哪几个节点组成的环。

方法2：采用dfs遍历图，遍历过程对节点着色(未遍历到的节点为白色，遍历到的节点为灰色，若这个节点关联的邻接点全部被访问，则将这个节点标记为黑色)，遍历的过程中，若发现某个节点的一条边指向灰色节点，则说明成环，(因为我们在遍历的过程中记录了节点遍历路径，而判环出，我们找到了环的起点和终点，因此环的位置即可找出)

有向图的判环有两个方法：

方法1：求图的拓扑序，由此可以判断图是否为DAG图(directed acyclic graph)，利用容器记录入度为0的节点加速查找，
(1)计算图中所有节点的入度，把入度为0的点加入容器(比如栈)
(2)如果栈非空，则从栈中取元素，输出节点，并删除节点(在将这个节点的邻接点入度减一时若发现入度为0的节点，则将这个节点放入容器)，重复(2)
(3)如果图中还存在顶点，则图成环，否则图为DAG图

方法2：利用无向图中DFS+着色遍历图，即可输出环。

同时对方法2在稍加理解，也可以用方法2求拓扑排序，入度的本质涵义是什么？是它对某个节点的依赖，而入度越大，依赖越重，那么在方法2中，着色时，访问到节点为黑色，代表它邻接点均被访问，那么此时就可以输出它了，遍历完图后，输出序列即为拓扑序。

相关资料

• https://www.cnblogs.com/TenosDoIt/p/3644225.html
• https://blog.csdn.net/leonsc/article/details/5973209
• 慕课浙大计算机