信号与系统为什么要采用复指数信号

首先应该提出的问题就是：为什么要用到自然对数e，及复指数信号

话不多说先说一下我的理解：即复指数信号为极坐标形式下转化为笛卡尔坐标上的点在时间t的作用下进行旋转并在时间轴上的投影，该投影则为各类型的正弦信号。
1.笛卡尔坐标即竖轴为虚轴的二维坐标系;
2.欧拉公式完成了复指数极坐标到笛卡尔坐标的映射；
3.类比实数极坐标到二维直角坐标系的映射，(ρ,Ѳ)=ρcosѲ+ρsinѲ（极坐标形式到直接坐标形式）
4.复指数极坐标形式虽然不可像实极坐标形式直接在二维上画出此点，但可通过欧拉公式映射到笛卡尔坐标画出此点。
大佬明白极坐标形式和笛卡尔坐标形式的可自行忽略也不用看啦！！！！

有时候看待一个问题，应该换一个角度来分析，不能总是在问自然对数e或者复指数在信号处理当中的意义是什么，我们应该来看自然对数e和复指数信号在处理问题上给我们带来了什么，有哪些优点。
不要老纠结他的意义，应该看他的作用（你品，你细品）

先来一个自然对数e的概念：常数e的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。仔细品是单位时间，意义是能量不可能短暂的无限大

其次就是欧拉公式了，欧拉公式不必说，数学上的意义就是证明某种关系式，用泰勒级数展开用来描述一个函数即可证明。

接下来就看看这个复指数信号告诉了我们什么，而不要去纠结意义，既然有了便利条件、有了利益可寻何必纠结意义提高节操例如资本主义？？？

复指数信号是指数信号的指数因子是复数时，称之为复指数信号。复指数信号在物理上是不可实现的（你细品物理实际上是实现不了的，不要纠结他存不存在），但是它概括了多种情况，这就是写下来要告诉我们的情况：

这是一个复指数信号：s=a+jb （为复平面，二维平面数，为什么要提出虚数则为解决不可开根的问题j=根下-1是一个虚数单位，就好比实数的单位都是单位1）
（1）若 a>0，复指数信号的实部、虚部为增幅正弦信号，增幅普通的指数函数单调增，为什么是正弦就是因为欧拉公式之后是正余弦的一个关系式

（2）若 a<0，复指数信号的实部、虚部为衰减正弦信号；
指数因子的虚部 则表示正弦与余弦信号的角频率，特殊情况是：

（3）当 a=0，即s为虚数，则原公式可写成虚指数信号形式，即为等幅正弦信号。虚指数信号的一个重要特性是具有周期性，其周期为2π/ω；
通过欧拉公式笛卡尔坐标就可一得到一个随着时间旋转的单位圆，而他的投影则为等幅正弦信号。欧拉恒等式e^(jpi)+1=0，即欧拉公式没有虚数单位根下-1的虚轴，此等式还是不成立的。
（4）当 b=0，即s为实数，则复指数信号成为一般的指数信号；

（5）若 a=0且 b=0，即s=0，则复指数信号的实部和虚部都与时间无关，成为直流信号。（这一个很有意思，他还能表示简单的直流信号你细品）

下面对推导公式及公式所能得到什么进行我的理解（摘取奥本海默的信号与系统的推导公式）：

首先我们得明白从公式的最后一行并不能直接得到二维幅值时间t的函数图像，需要进一步分析才能得到。
首先我们能看到他是一个带有j的虚数，这个虚数在这里有什么意义那肯定我们都有疑问？？？其实还是上面的一句话他只是个单位长度，例如实轴的都为单位1，而虚轴则为单位根-1，他能解决根下为负数的数学问题。
在笛卡尔坐标当中横轴为单位1的实轴，竖轴为单位根下-1的虚轴（就好比z=（x，y）都为单位一的实轴，而这副图为立体三维图还需要我们购想才能直观的看出函数图像，但是一般我们都是只看二维自变量的取值，你看这就是很不如意的，但是不影响我们去做题去求二重积分对不对），坐标上的点会以螺线的形式出现而他的投影则为我们一般常接受的幅值/时间曲线，这里拗述一下为什么要投影：1.我们知道正余弦图像是单位圆的旋转得来的。2.幅值/时间图像是我们人为的拓展画出来的。3.在振动当中点不会随着时间而移动，他只是在自己的位置上下移动，即实际情况下是一个点在上下移动通过人为扩展才得到幅值/时间曲线。
记住一句话：有了虚数和虚轴的概念之后复数可在笛卡尔坐标和极坐标下互换，即笛卡尔坐标上的点可以用极坐标旋转一定的度数来替换。（通过欧拉公式替换一下就得出）
1.类比实数下极坐表通过pcosx psinx来进行直角坐标系的映射。
2.而复数下就是通过欧拉公式来进行极坐标到笛卡尔坐标的映射。因为了有了虚数j所以要用到欧拉公式，前者是在两个都是实轴上的映射叫直角坐标系，后者是在带虚轴上的映射就叫做笛卡尔坐标啦

你看，虽然复指数信号物理上不能实现，但是一个这样的数学分析工具可同时提供多种信号的样式，包括直流信号、指数信号、正弦或余弦信号以及增长或衰减的正弦与余弦信号，而这些信号在实际的信号处理当中都已经囊括了，意思是实际应用中已经得到满足。在傅里叶变换和拉普拉斯变换里我们就看到这样一个好处：输入一个复指数函数就同时解决了系统输出的振幅和相位的问题：因为输出的振幅等于响应实部的平方与虚部的平方和的开方；而输出的相位等于响应虚部与实部的比值的反正切。对于线性控制系统输入是正弦的输出也是正弦的，且周期不变。

其实说到底，我们若是明白了傅里叶变换是怎么来的，若不明白我推荐一个up主手把手讲解傅里叶变换，六节课一节课10分钟纯干货，你若是看了这位up主讲的傅里叶变换再结合我所能够理解的片面还不能理解复指数信号的话我直播XXX了解傅里叶变换之后，明白了复指数信号能代表的一些基本正弦函数，就可以得出一个结论，就是为了简便书写，用我们平常所能接触的正弦、余弦和直流信号通过欧拉公式在数学意义上等于复指数信号来方便书写，我们不需要写麻烦的cosx+jsinx而替换为复指数信号（复指数信号的格式还能直观的描述信号的特征，例如模值和相位。欧拉公式告诉我们这两个等式在数学上是相等的可以互相表示，那为何采用复指数信号的书写呢？？？我们知道cosx和sinx的和差化积积化和差可以组合任意幅值、相位和频率的信号，那不就是等于复指数信号可以代表自然界大部分的信号嘛！！！），这样岂不美哉

Z变换域与频域（傅里叶变换域）

在我们大部分的时间里都是接触的平面基本初等函数，即我们可从这些函数图像中通过零点、极点、变化率等去分析一些实际物理问题。同样的在Z变换域当中，在二维变量平面取有意义的点去分析实际物理意义。不过一般都是确定了收敛域而且直观上只能接触收敛域，而他的输出量则需要自己来构造，类比多元函数方程z=f（x，y），不也是两个变量确定一个输出量吗，无非这里的是一个实数一个用来解根的虚数（用得到就用用不到就带着，因为他也有自己的实际物理作用）
傅里叶变换域即频域，那就是在平面直接坐标系中可直观的看出幅频曲线，这是我们最容易接受的一种图表形式。
数字信号处理说到底最后还是需要通过模拟电路来搭建奈奎斯特抽样速率：
1.原信号频谱2.抽样之后得到新的函数的频谱
3.两种频谱之间的关系说到底还是描述的幅频相频特性曲线