Population Vector Algorithm(PVA)

背景

Population Vector Algorithm(PVA)是运动神经解码领域很常见的一种解码方法。主要是基于运动神经学领域的一个发现：神经元的发放率和当前的运动方向之间存在余弦调制的关系，即tuning curve[1]。基于这一简单的线性关系，于是有了PVA算法。

算法推导：

1. 信号预处理 这里的算法推导主要针对神经元集群解码，因为PVA的主要应用还是在神经元解码中 首先，采集到的spike信号是以发放次数的方式存储的，这里需要先转换成发放率的形式，即： $$fr[n]=\frac{spk[n]}{\Delta t}\text{\hspace{1em}(1)}$$

2. 其中，$fr[n]$表示$n$时刻神经元的发放率，$\Delta t$表示一个bin的长度，通常的取值为20ms，30ms，50ms，1000ms等。$spk[n]$表示神经元在第$n$个bin中发放的次数。 然后，对发放率做一个FIR滤波，主要目的是平滑发放率曲线，计算公式如下：

   $$s[n]=\sum _{i=1}^{W-1}fr[n-i]h[i]\text{\hspace{1em}(2)}$$

   其中，$h[i]$表示滤波器的卷积函数，可以根据需求选取，$W$表示滤波器的阶数，可以根据实际需要选择。

   PVA算法原理 PVA算法的提出，主要是根据实验中观察到的现象。在猴子将手臂移动向不同的方向时，不同的神经元发放的率产生了变化，我们由此假设，神经元的发放率跟运动方向是有关系的，所以我们想到，用余弦曲线的方式，去拟合神经元的发放率与运动方向之间的关系。首先，我们假设每个神经元都有一个自己的偏好方向${\theta }_{PD}$，假设此时，猴子手臂的运动方向为$\theta$，那么此时神经元的发放率为： $$f=m\ast cos(\theta -{\theta }_{PD})+b_0\text{\hspace{1em}(3)}$$

   其中，$m$为表征神经元活泼性的参数，即有的神经元可能表征的偏好方向一样，但是在偏好方向上的发放率变化是不一样的。$b_0$表示神经元的基础发放率，即在静息状态下的基础发放率。$f$表示的是神经元在猴子手臂朝向$\theta$方向运动时的发放率，注意这里是发放率不是spike count，虽然两者可以通过bin转换，但是公式推导的时候两者还是不一样的。 公式$(3)$表示了单个神经元的发放与运动的关系。猴子大脑M1区域的神经元是很多的，对不同的方向肯定有不同的偏好性。那么如何处理这种不一致性呢，我们的方法是用矢量求和的形式，得出一个此时最可能的运动方向。即： $$u=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^{n}m\ast cos{\theta }_{PD}\text{\hspace{1em}(4)}$$

   这里$u$表示神经元此时解码出来的运动方向，这里也能部分表征运动速度，但是速度的大小也与实际的运动距离有关，所以，运动速度的计算如下：

   $$v=k\ast u+\sigma \text{\hspace{1em}(5)}$$

   这里$k$表示实际速度与计算得出的速度的比例，$\sigma$表示实际速度与解码得到的速度之间的误差，以上就是PVA算法的主要原理 3. 参数计算 那么，现在的问题在于，如何计算PVA算法中的几个参数，这里我们用最小二乘法的方式，求最小误差情况下的参数$b_0,m,{\theta }_{PD}$，我们将公式$(3)$换一种写法，即：

   $$f=b_0+b_1\ast cos\theta +b_2\ast sin\theta \text{\hspace{1em}(6)}$$

   再考虑$cos\theta$和$sin\theta$这两个量，对应在速度中，可以表示为归一化过后的$v_x$和$v_y$，只要在$[-1,1]$这个区间内所以，将公式$(6)$写成：

   $$f=b_0+b_1\ast v_x+b_2\ast v_y\text{\hspace{1em}(7)}$$

   用最小二乘法计算，误差为：

   $$ϵ=\sum _{i=1}^n(b_0+b_1\ast v_x+b_2\ast v_y-f{)}^2\text{\hspace{1em}(8)}$$

   最终计算结果根据要推导一下，这里先暂时不写，回去再补充 所以，极值在偏导数为$0$的地方取得，即： $$\frac{\partial ϵ}{\partial b_0}=0\text{\hspace{1em}(9)}$$ $$\frac{\partial ϵ}{\partial b_1}=0\text{\hspace{1em}(10)}$$ $$\frac{\partial ϵ}{\partial b_2}=0\text{\hspace{1em}(11)}$$

   解上述方程，可以得到$b_0,b_1,b_2$的值，即：

   $$\beta =(A^T\ast A{)}^{-1}{A}^{T}B\text{\hspace{1em}(12)}$$

   其中，$\beta =(b_0,b_1,b_2)$，$A$为运动信息矩阵，$B$为神经信号矩阵。

   延伸

   PVA作为运动神经解码领域最基础的解码器之一，已经使用了很长的时间，随着研究的不断深入，PVA的缺陷也体现了出来，那就是当采集到的神经集群如果偏好方向分布不均匀，很容易造成解码信息出现偏移，所以有了后来的Optimal Linear Estimation(OLE)算法，算是对这一问题的弥补。后续会补充这一内容
   当然，神经生物学也有了不断的发展，也提出了其他的理论，例如dynamic model[2]。后续再补充dynamic model的内容
   代码链接：
   后续会附上代码链接
   [1]A. Georgopoulos, A. Schwartz, and R. Kettner, “Neuronal population coding of movement direction,” Science, vol. 233, no. 4771, pp. 1416–1419, Sep. 1986, doi: 10.1126/science.3749885.
   [2]M. M. Churchland et al., “Neural population dynamics during reaching,” Nature, vol. 487, no. 7405, pp. 51–56, Jul. 2012, doi: 10.1038/nature11129.