Population Vector Algorithm(PVA)
背景
Population Vector Algorithm(PVA)是运动神经解码领域很常见的一种解码方法。主要是基于运动神经学领域的一个发现：神经元的发放率和当前的运动方向之间存在余弦调制的关系，即tuning curve[1]。基于这一简单的线性关系，于是有了PVA算法。
算法推导：
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信号预处理 这里的算法推导主要针对神经元集群解码，因为PVA的主要应用还是在神经元解码中 首先，采集到的spike信号是以发放次数的方式存储的，这里需要先转换成发放率的形式，即： f r [ n ] = s p k [ n ] Δ t (1) fr[n]=\frac{spk[n]}{\Delta t} \tag{1} fr[n]=Δtspk[n](1)
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其中， f r [ n ] fr[n] fr[n]表示 n n n时刻神经元的发放率， Δ t \Delta t Δt表示一个bin的长度，通常的取值为20ms，30ms，50ms，1000ms等。 s p k [ n ] spk[n] spk[n]表示神经元在第 n n n个bin中发放的次数。 然后，对发放率做一个FIR滤波，主要目的是平滑发放率曲线，计算公式如下：
s [ n ] = ∑ i = 1 W − 1 f r [ n − i ] h [ i ] (2) s[n]=\sum_{i=1}^{W-1}{fr[n-i]h[i]} \tag{2} s[n]=i=1∑W−1fr[n−i]h[i](2)
其中， h [ i ] h[i] h[i]表示滤波器的卷积函数，可以根据需求选取， W W W表示滤波器的阶数，可以根据实际需要选择。
PVA算法原理 PVA算法的提出，主要是根据实验中观察到的现象。在猴子将手臂移动向不同的方向时，不同的神经元发放的率产生了变化，我们由此假设，神经元的发放率跟运动方向是有关系的，所以我们想到，用余弦曲线的方式，去拟合神经元的发放率与运动方向之间的关系。首先，我们假设每个神经元都有一个自己的偏好方向 θ P D \theta_{PD} θPD，假设此时，猴子手臂的运动方向为 θ \theta θ，那么此时神经元的发放率为： f = m ∗ c o s ( θ − θ P D ) + b 0 (3) f=m*cos(\theta-\theta_{PD})+b_0 \tag{3} f=m∗cos(θ−θPD)+b0(3)
其中， m m m为表征神经元活泼性的参数，即有的神经元可能表征的偏好方向一样，但是在偏好方向上的发放率变化是不一样的。 b 0 b_0 b0表示神经元的基础发放率，即在静息状态下的基础发放率。 f f f表示的是神经元在猴子手臂朝向 θ \theta θ方向运动时的发放率，注意这里是发放率不是spike count，虽然两者可以通过bin转换，但是公式推导的时候两者还是不一样的。 公式 ( 3 ) (3) (3)表示了单个神经元的发放与运动的关系。猴子大脑M1区域的神经元是很多的，对不同的方向肯定有不同的偏好性。那么如何处理这种不一致性呢，我们的方法是用矢量求和的形式，得出一个此时最可能的运动方向。即： u ⃗ = 1 N ∑ i = 1 n m ∗ c o s θ P D (4) \vec{u}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{n}{m*cos{\theta_{PD}}} \tag{4} u=N1i=1∑nm∗cosθPD(4)
这里 u ⃗ \vec{u} u表示神经元此时解码出来的运动方向，这里也能部分表征运动速度，但是速度的大小也与实际的运动距离有关，所以，运动速度的计算如下：
v = k ∗ u ⃗ + σ (5) v=k*\vec{u}+\sigma \tag{5} v=k∗u+σ(5)
这里 k k k表示实际速度与计算得出的速度的比例， σ \sigma σ表示实际速度与解码得到的速度之间的误差，以上就是PVA算法的主要原理 3. 参数计算 那么，现在的问题在于，如何计算PVA算法中的几个参数，这里我们用最小二乘法的方式，求最小误差情况下的参数 b 0 , m , θ P D b_0,m,\theta_{PD} b0,m,θPD，我们将公式 ( 3 ) (3) (3)换一种写法，即：
f = b 0 + b 1 ∗ c o s θ + b 2 ∗ s i n θ (6) f = b_0 + b_1 * cos \theta + b_2 * sin \theta \tag{6} f=b0+b1∗cosθ+b2∗sinθ(6)
再考虑 c o s θ cos{\theta} cosθ和 s i n θ sin{\theta} sinθ这两个量，对应在速度中，可以表示为归一化过后的 v x v_x vx和 v y v_y vy，只要在 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [−1,1]这个区间内所以，将公式 ( 6 ) (6) (6)写成：
f = b 0 + b 1 ∗ v x + b 2 ∗ v y (7) f = b_0 + b_1 * v_x + b_2 * v_y \tag{7} f=b0+b1∗vx+b2∗vy(7)
用最小二乘法计算，误差为：
ϵ = ∑ i = 1 n ( b 0 + b 1 ∗ v x + b 2 ∗ v y − f ) 2 (8) \epsilon = \sum_{ i=1 }^{n}{(b_0 + b_1 * v_x + b_2 * v_y - f)^2} \tag{8} ϵ=i=1∑n(b0+b1∗vx+b2∗vy−f)2(8)
最终计算结果根据要推导一下，这里先暂时不写，回去再补充 所以，极值在偏导数为 0 0 0的地方取得，即： ∂ ϵ ∂ b 0 = 0 (9) \frac{\partial{\epsilon}}{\partial{b_0}}=0 \tag{9} ∂b0∂ϵ=0(9) ∂ ϵ ∂ b 1 = 0 (10) \frac{\partial{\epsilon}}{\partial{b_1}}=0 \tag{10} ∂b1∂ϵ=0(10) ∂ ϵ ∂ b 2 = 0 (11) \frac{\partial{\epsilon}}{\partial{b_2}}=0 \tag{11} ∂b2∂ϵ=0(11)
解上述方程，可以得到 b 0 , b 1 , b 2 b_0,b_1,b_2 b0,b1,b2的值，即：
β = ( A T ∗ A ) − 1 A T B (12) \beta=(A^T*A)^{-1}A^TB \tag{12} β=(AT∗A)−1ATB(12)
其中， β = ( b 0 , b 1 , b 2 ) \beta=(b_0,b_1,b_2) β=(b0,b1,b2)， A A A为运动信息矩阵， B B B为神经信号矩阵。
延伸
PVA作为运动神经解码领域最基础的解码器之一，已经使用了很长的时间，随着研究的不断深入，PVA的缺陷也体现了出来，那就是当采集到的神经集群如果偏好方向分布不均匀，很容易造成解码信息出现偏移，所以有了后来的Optimal Linear Estimation(OLE)算法，算是对这一问题的弥补。后续会补充这一内容
当然，神经生物学也有了不断的发展，也提出了其他的理论，例如dynamic model[2]。后续再补充dynamic model的内容
代码链接：
后续会附上代码链接
[1]A. Georgopoulos, A. Schwartz, and R. Kettner, “Neuronal population coding of movement direction,” Science, vol. 233, no. 4771, pp. 1416–1419, Sep. 1986, doi: 10.1126/science.3749885.
[2]M. M. Churchland et al., “Neural population dynamics during reaching,” Nature, vol. 487, no. 7405, pp. 51–56, Jul. 2012, doi: 10.1038/nature11129.