提高篇-最短路径问题（图论）-《算法笔记》同步笔记总结与补充

专题要点：

• 无负环的单源最短路径
  • Dijkstra（配合dfs，优先队列优化）
• 一般单源最短路径
  • Dijkstra
  • Bellman-Ford
  • SPFA
• 全源最短路径
  • Floyd
  • 暴力：对每个顶点做一次Dijkstra

可解问题：

• 基础问题（第一标尺）：最短路径
• 引申问题（第二标尺）：边权花费数组c[]，点权资源数组w[]，最短路径条数num[]，路径上的结点数目pt[]，前驱结点记录pre[]；

基础问题（求最短路径）是第一标尺，其余引申问题是第二标尺，求最短路径使用Dijkstra算法，过程中使用pre[]存储，dfs搜索pre[]以解决第二标尺问题。PS：第二标尺涉及复杂计算的话，其实就是模拟题

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编程总是忽视的问题

• Dijkstra最外层循环N次（N为顶点数）的含义：为了将所有顶点都访问到，并在循环体中用vis[]标记；循环体内再执行，找出最短边，更新最短路径的操作。
• dfs逆向遍历，逆向输出：对pre[]dfs时，由于递归的性质是逆向遍历的，叶子节点（边界）即为源点，在边界对路径点权边权计算时，切记要逆序访问vector< int >tempPath
• dfs仍然过程中要记得特有的反向操作

tempPath.push_back(v);
……
tempPath.pop_back();

• dfs得到一条完整路径后的计算问题：前提：到达边界后，要手动将边界节点push_back到当前路径中，此时得到一条完整路径；然后逆序遍历整条路径
  • 计算点权：遍历路径中所有点即可
  • 计算边权：遍历路径中的点和该点的后继，拿到两个端点方可得到边权进行计算
• 访问邻接矩阵，Dijkstra访问与当前顶点相连的点：一定要先判断边是否存在if(!vis[v] && G[u][v])，不然有的边不存在（G[u][v] == 0）会错误更新最短距离
• 访问邻接表，vector路径的循环变量i的含义：i并不代表另一个顶点，另一个顶点存储在vector[i]中，i只是循环变量，是辅助获取顶点值的作用
• 计算平均值：两种方法，一是一边循环一边求平均值，而是循环加和之后再求平均值，但是做题时遇到点情况
  可能边循环边求平均值是首选吧？？目前还在存疑
• 前驱结点集pre[]：将当前节点的前驱push进去，其中v是当前节点，u是v的前驱结点，要区分清楚

for(int v = 0; v < G[u].size(); ++i)
{
	if(满足条件)
	pre[v].push_back(u);
}

几点注意：

• 要得到具体路径，必须通过pre[]和dfs（递归）思想，注意是逆向访问（即从终点访问到起点）此方法最为保险（对于Dijkstra,Bellman,SPFA）
• 单一Dijkstra（不对多条最短路径进行dfs）：
  • 要根据题目要求增减边权花费数组c[]，点权资源数组w[]，最短路径条数num[]，路径上的结点数目pt[]，前驱结点记录pre[]；
  • 要注意各个数据结构的初始化问题
• Dijkstra + dfs：解第二标尺首选
  • 前提：声明前驱结点集合vector pre[maxn]，方能进行dfs
  • 访问路径过程中要用tempPath记录路径中的结点（逆向记录）
  • 增加对完整路径计算tempValue与最优值optValue对比，将最优值所在的tempPath存储到最优路径optPath中
  • 由于递归访问时逆向记录的（tempPath.size() - 1是起点），计算点权边权时最好倒叙访问 for(int i = tempPath.size() - 1; i >= 0; i–)
• 全源最短路径：对比Floyed和暴力Dijkstra，其时间复杂度均为O(N³)，但计算量有所不同。
  • 效果对比
  • Dijkstra过程中很多路径和结果计算是重复的，虽然时间复杂度相同，但运算量相差很多；
  • Dijkstra需要更多的空间复杂度，Floyd不需要邻接矩阵或邻接表，vis[]数组