【习题·数据结构】子序列累加和（单调栈）

题目描述

小x在学习数列。他想到一个数学问题：

现在有N个数的数列。现在你定义一个子序列是数列的连续一部分，子序列的值是这个子序列中最大值和最小值之差。

给你这N个数，小x想知道所有子序列的值得累加和是多少。

Solution

这道题虽然涉及区间最值，但是只需要查找所有区间最值之差即可，而并不用枚举每一个区间并查找区间内的每一个最值，这样的做法虽然可行但是复杂度不允许，我们可以考虑使用数据结构进行优化。

我们规定，Max[i]表示第i个数值是多少区间内的最大值，Min[i]是多少区间内的最小值。

不难得出，子序列累加和$=(\sum Max[i]\ast a[i]-\sum Min[i]\ast a[i])$。

但是如何得到这一个Max和Min呢？我们需要利用单调栈来维护。我们可以分别找到一个数向左有多少个区间是最值，向右有多少个区间是最值得，由于可以单独一个区间，根据乘法原理，所影响到的区间个数是$Left[i]\ast Right[i]+1$。

以求解每一个数有多少个连续向左作为最小值得个数为例（假设这一个区间数不包含自身）

• 维护单调递增的序列，如果这个数比栈顶大就进栈。
• 如果比栈顶小，则不断弹出，新增的影响范围是栈顶的影响范围+1。虽然当前点和栈顶并不相连，但这并没有关系，因为中间相隔的对答案根本没有任何影响，且一定保证了求解区间最值的所有可能性。

代码如下：

#include 
#define LL long long
using namespace std;
LL n;
LL ans=0;
LL top1=0;
LL top2=0;
LL top3=0;
LL top4=0;
LL a[400000];
LL s1[400000];
LL s2[400000];
LL s3[400000];
LL s4[400000];
LL sum1[400000];
LL sum2[400000];
LL sum3[400000];
LL sum4[400000];
int main(void)
{
	freopen("diferencija.in","r",stdin);
	freopen("diferencija.out","w",stdout);
	scanf("%lld",&n);
	for (LL i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",a+i);
	s1[++top1]=1;
	s2[++top2]=n;
	s3[++top3]=1;
	s4[++top4]=n;
	for (LL i=2;i<=n;++i) 
	{
		for (;a[i]<a[s1[top1]]&&top1;--top1)
		    sum1[i]+=sum1[s1[top1]]+1;
		s1[++top1]=i;
	}
	//正序 最小
	for (LL i=n-1;i;--i)
	{
		for (;a[i]<=a[s2[top2]]&&top2;--top2)
		    sum2[i]+=sum2[s2[top2]]+1;
		s2[++top2]=i;
	}
	//逆序 最小
	for (LL i=2;i<=n;++i)
	{
		for (;a[i]>a[s3[top3]]&&top3;--top3)
		    sum3[i]+=sum3[s3[top3]]+1;
		s3[++top3]=i;
	} 
	//正序 最大
	for (LL i=n-1;i;--i)
	{
		for (;a[i]>=a[s4[top4]]&&top4;--top4)
		    sum4[i]+=sum4[s4[top4]]+1;
		s4[++top4]=i;
	} 
	//逆序 最大 
	for (LL i=1;i<=n;++i) 
		ans+=(((sum3[i]+1)*(sum4[i]+1))-((sum1[i]+1)*(sum2[i]+1)))*a[i];
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}