图的最短路径问题

1. 最短路径问题

带权有向图或带权无向图（网络，即网络是不区分方向的）中的每条边都附有一个权值，通常用于表示实际应用中顶点之间关系的某种度量（measure），表示其关联的紧密程度，如：

• 长度、成本、代价等等

这种长度一般具有可加性，可以看做一个抽象或者泛化的“距离（distance）”；

定义：从 $v$ 到 $v^{\prime }$ 的所有路径中长度最短的路径就是 $v$ 到 $v^{\prime }$ 的最短路径，最短路径的长度称为从 $v$ 到 $v^{\prime }$ 的距离，记为 $\text{dis}(v,v^{\prime })$（$\text{dis}(v,v^{\prime })$ 指的是两点之间的最短距离）；

2. Dijkstra 算法 ⇒ 单源点最短路径

该算法能求出一个给定顶点到图中所有其他顶点的最短路径，自然也顺便解决了对给定起始顶点 $v$ 和目标顶点 $v^{\prime }$ 求最短路径的问题。

数据结构定义：

• 数组：（$d[\cdot ]$）：$d[s]=0$, $\{d[v]=\infty |v\in V-\{s\}\}$
• 数据结构，$S\leftarrow \varphi$, $Q\leftarrow V$（优先队列，开始状态下将会包含所有的顶点）