【算法】图的最短路径(Dijkstra算法)

    今天要总结的是图的迪杰斯特拉算法。这个算法是针对有向带权图的，求的是图中某一个定点到其余所有顶点的最短路径。

  下面说说这个算法的基本思想吧：设定两个集合A和B，A中存放我们已经处理过的顶点，B中存放图中剩余顶点。刚开始的时候，A中只有一个我们选定的起点v0，每一次从集合B中取到v0的代价最小的点并入，每一次并入时都需要修改v0到B中顶点的代价，直到所有的顶点都并入为止。

  算法准备：

  1、数组dist，用于存放v0到图中个顶点的代价，数组下标表示顶点编号

  2、数组path，用于存放路径，数组下标表示顶点编号，下标所对应的数组值表示能够到达当前这个顶点的前一个顶点编号，最后连起来就是v0到图中各顶点的最短路径了。如果没有前前驱顶点，则内容值为-1。

  3、数组set，用于标识图中顶点是否被处理过，数组下标表示顶点编号。处理过为1，没处理过为0。

  4、使用图的邻接矩阵来存储有向带权图，graph[i][j]。

  算法过程（我们选择编号为0的顶点作为起点）：

   1、首先进行3个数组的初始化，把set数组全部初始化为0；dist数组全部初始化为无穷大，path数组全部初始化为-1。

   2、将set[0]的值设置为1，然后遍历邻接矩阵的第0行，依次更新dist数组的每一项。

   3、将dist数组中值不为无穷大的在path中的对应下标，把它们的值改为0。因为编号为0的点是它们的前驱嘛。如下图：

   4、选择dist数组中值最小的点的下标，这里为1。

   5、将set[1]的值设置为1

   6、遍历邻接矩阵的第1行(因为1是最小权值的下标)，将dist[1]的值与邻接矩阵graph[1][i]的值相加（此时是以编号为1的点作为中间点，看看由v0->v1再到其余点的路径长度会不会比v0直接到它们的路径长度短），如果这个值比dist[i]的值小，就更新dist[i]，同时将path[i]的值设置为1，执行这个操作的前提是，set[i]为0。操作完成后如下图：

   7、重复【4】~【6】步，如果已经处理过的点就不用再判断了。直到set数组全变为1。最后如下图

现在，我们就可以看出最短路径了。

比如v0到v6的路径为，注意path数组，从下标6的位置开始看起，逐级向上查找，直到遇到-1为止

v6->v4->v5->v2->v1->v0

有没有发现这个是逆序的呢？根据后进先出的原则，我们想到输出要用到栈。

下面上代码：

1、首先是图的结构体定义

#define Max 100
typedef struct graph *Graph;
typedef struct graph
{
	int data[30][30];
	int n , e;
}graph;

2、接下来就是算法核心代码

void Dijkstra(Graph g , int v , int path[] , int dist[])
{
	int set[Max];
	//initial
	int i , j;
	for(i = 0 ; i < g->n ; i++)
	{
		set[i] = 0;
		dist[i] = g->data[v][i];
		if(g->data[v][i] < Max)
		{
			path[i] = v;
		}
		else
		{
			path[i] = -1;
		}
	}

	set[0] = 1;
	path[0] = -1;
	//main

	for(i = 1 ; i<= g->n-1 ; i++)
	{
		int min = Max;
		int minP = 0;
		for(j = 0 ; j < g->n ; j++)
		{
			if(set[j] == 0 && dist[j] < min)
			{	
				min = dist[j];
				minP = j;
			}
		}

		set[minP] = 1;
		for(j = 0 ; j < g->n ; j++)
		{
			if(set[j] == 0 && g->data[minP][j] + min < dist[j])
			{
				dist[j] = g->data[minP][j] + min;
				path[j] = minP;
			}
		}
	}
}

注：a、参数列表中的变量v就是我们指定的定点。

       b、在初始化path数组的过程中，如果某个顶点在邻接矩阵v行的值不为无穷大，说明该点可以由v到达，所以将该path数组中的值设置成v，而在矩阵中v行值为无穷大的，就设置成-1。

3、输出路径代码

void showPath(int path[], int begin)
{
	int stack[Max];
	int top = -1;
	int i = begin;
	int flag = 0;
	while(path[begin] != -1)
	{
		stack[++top] = begin;
		begin = path[begin];
	}
	stack[++top] = begin;
	if(top == 0)
	{
		printf("v%d 无最短路径",stack[top]);
		return;
	}
	while(top != -1)
	{
		if(!flag)
		{
		   printf("v%d",stack[top]);
		   flag++;
		}
		else
			printf("->v%d",stack[top]);
		top--;
	}
}

如果没有最短路径的话，说明这个点就没有前驱了，都是-1，在路径序列中只有它自己。