2018年NOIP普及组完善程序题2—右侧第一个更大值

问题：右侧第一个更大值

对于一个1到n的排列P（即1到n中每一个数在P中出现了恰好一次），令qi为第i个位置之后第一个比Pi值更大的位置，如果不存在这样的位置，则qi = n+ 1。举例来说，如果n = 5且P为1 5 4 2 3，则q为2 6 6 5 6。

下列程序读入了排列P，使用双向链表求解了答案。试补全程序。

#include 

using namespace std;

const int N=100010;
int n;
int L[N], R[N], a[N];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        （1）;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        R[i]=（2）;
        L[i]=i-1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        L[（3）]=L[a[i]];
        R[L[a[i]]]=R[（4）];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<（5）<<" ";
    }
    cout<

解析

对于一个1到n的排列P（即1到n中每一个数在P中恰好出现一次）， 令为第个位之后第一个比值更大的位置，如果不存在这样的位置，则。

数据范围：。

分析

• p为1到n的一个排列，例如： 1 5 4 2 3
• p里每个元素都一个位置，从1到n，例如5的位置是2，4的位置是3
• 对于p里任何一个元素，往右边找第一个比它大的元素，记录该元素的位置，如果这个位置不存在，就记录n+1（最后一个元素的下一个位置）

用表格描述如下：

位置	1	2	3	4	5
p	1	5	4	2	3
往右查找	5，位置2	无，位置6	无，位置6	3，位置5	无，位置6
q	2	6	6	5	6

1. 朴素算法

查找算法：从该元素右边第一个元素开始往右循环，依次比较，找到比它大的就退出循环，记录位置；循环结束都没找到，记录n+1的位置。

循环序列的每个元素，都调用上面的查找算法，将找到的位置（或n+1）保存到q序列。

这个算法简单直接，算法复杂度为，其中对某元素的查找算法是，枚举序列P的每个元素调用查找算法也是，乘起来为。

但对于此题的最大数据范围100000来说会TLE。

2. 优化分析

对于某个元素，往右查找第一个大于它的数，都需要循环比较。例如：1 5 3 2 4，对于3这个元素，需要往右循环比较，一直找到4。

但如果我们知道要找的元素就是序列最小的，往右就不需要循环比较。例如：1 5 3 2 4，对于1这个元素（最小），那右侧不管是什么都比它大。

从这个角度出发有一个优化思路：

• 每次从当前最小值出发去查找
• 它的右侧位置肯定就是第一个大于它的值。
• 然后把该最小值删掉，下次从剩下的最小值出发去查找。

按照这样的思路，算法的复杂度会变成，因为每个元素右侧第一个大于它的查找算法就不需要循环了。

于是，问题转化为两个子问题：

1. 有没有办法每次对当前最小值进行查找
2. 怎么把最小值删掉，在剩下里面再找

子问题一：对当前最小值查找

注意题目描述，P是1到n的一个排列，也就是说，1到n的每个数都被放到了P的某个位置上，位置也刚好是1到n。

预先建立一个数组a，用来存储1到n的值在P序列中的位置。然后对值从1到n进行枚举，例如：

假设P为1 5 3 2 4，数组a={1，4，3，5，2}。

• 1在P里面的位置是1那么位置2的值（5）肯定比1大。
• 删除掉1
• 枚举2，在P序列的位置是4，那么位置5的值（4）肯定比2大。
• 删除掉2
• ...

子问题二：删除最小值，在剩下里面找

这个就是问题里提到的双向链表了，每个位置都记录一个左位置和右位置，当某个位置查找完成后，把它的左位置和右位置连起来就表示这个位置被删除了。

例如：1 5 3 2 4，假设现在从值2开始查找，注意值2的位置（值为4）在值3的位置（值为3）后面

位置4（值为2）的右边位置是5（值为4），当对位置4查找右侧第一个大的值时，位置5就是第一个；然后把值2删除。

下一步对值3查找右侧大的值时，显然值3的右侧值4肯定也大于3。

3. 算法描述

P=1 5 3 2 4，a={1，4，3，5，2}，结果为q = 2 6 5 5 6

1. 找值1（位置2）的右侧位置，结果是位置2（值为5），然后删除值1
2. 找值2（位置4）的右侧位置，结果是位置5（值为4），然后删除值2
3. 找值3（位置3）的右侧位置，结果是位置5（值为4），然后删除值3
4. 找值4（位置5）的右侧位置，结果是位置6（值为6），然后删除值4
5. 找值5（位置2）的右侧位置，结果是位置6（值为6），然后删除值5

操作后的结果为：

可以发现，对于位置i的右侧位置R[i]，即为最后答案。例如：R[1]=2，R[2]=6， R[3]=5，R[4]=5，R[5]=6。

最终代码如下：

#include 

using namespace std;

const int N=100010;
int n;
int L[N], R[N], a[N];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        cin>>x;
        a[x]=i;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        R[i]=i+1;
        L[i]=i-1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        L[R[a[i]]]=L[a[i]];
        R[L[a[i]]]=R[a[i]];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<