快速幂和快速乘

快速幂

2^10 = 2^5 * 2^5;
2^5 = 2 * 2^4;
2^4 = 2^2 * 2^2;
2^2 = 2^1 * 2^1;
2^1 = 2 * 2^0;
有些时候偶数的情况就只需要乘它本身就够了，时间复杂度少了很多，这样的话2^10只需要5步就可以求出来了，但是循环的话，却需要十次。
在二进制中假如是2^10那么10对应的二进制就是1010，那么1号位，3号位都是1，所以就有了10 = 2³⁺²1=8+2,所以2¹⁰⁼²8+2^2。
所以二进制就先初始化ans = 1，用来存放累积的结果，然后判断b的二进制吗末尾是否为一来判断是奇数还是偶数，如果是奇数就乘以a，然后让a平方，并且b右移一位。只要b等于0，就返回ans。

时间复杂度为：log(n)

模板

ll poww(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 1;
    while(b > 0) {
        if(b & 1) {
            ans = ans * a % mod;
        }
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
}

习题

a^b

快速乘

可以把 a * b这样算：
a * b = a + a + a + …+ a
而
a * 1 = a
a * 2 = 2a
a * 4 = 4a
a * 8 = 8a
…
所以可以推出：
a * (2 ^ k) = 2 ^ k * a

优点：不会爆范围

模板

ll ksc(ll a, ll b, ll mod) {
    ll ans = 0;
    while(b > 0) {
        if(b & 1) {
            ans = (ans + a) % mod;
        }
        a = (a + a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}

习题

64位整数乘法