Spherical Harmonics Lighting

    Spherical Harmonics 在图形学中的用处发展的越来越多，只需要计算很少量的系数而在运行时不用处理大量的数据。用Spherical Harmonical可以模拟RTGI。

一、球面调和函数

        球面调和函数Spherical Harmonics SH是定义在球面坐标系的一组函数，构成球面上的一组标准正交基，是作用于频率空间的，通常情况下，SH的定义是在复数域，在做光照计算时主要是用实数域。

        球坐标：(x,y,z)=(rsincos,rsinsin,rcos)

 

      球面调和函数的定义：

    其中-l<= m <=l, l>0, l一般去2-3个Bands 所有一般有l(l+1)项

    P是m阶l次伴随勒让德多项式，伴随勒让德多项式的计算通常是由三个规则来计算出来的

 

   

  K是一个标准化的缩放因子：

 

 

根据以上几个公式可以推算出球谐基系数投影到笛卡尔坐标系上：

 

         

        索引化：取i = l ( l + 1 ) + m 可有

         之所以选择球谐基函数来还原原始函数，是因为球谐基函数式正交的，有了正交，在进行卷积运算的时候可以得到一个常数0或1， 如果能得到原始函数用基函数表示的对应系数，便可以还原原始函数。

         球面S上的任意一个函数f的SH系数为：（运用卷积）  《SH系数公式》

           通过这些SH系数可以把原始函数f还原：

      我们需要计算SH的系数的那个积分，这里可以用蒙特卡洛积分来把积分转换成乘法和加法：

           

          现在把上面求SH系数的积分用球坐标表示：

 

          在采用蒙特卡洛积分时，对于一个球体表面，每个点的均匀采样概率为：

        所以《SH系数公式》可以写成：

 

      现在可以计算n阶的近似原始函数f丿，注意要计算出n阶的原始函数。需要计算出n*n 个球谐基SH系数，《近视原始函数计算公式》

二、球谐函数的特性：

       球谐函数的旋转不变性：使用球谐函数时，当场景变化，移动灯光或者旋转物体，能够保证light的Intensity不会受到影响。

       另外一个是计算两个球谐函数的乘积的积分时，能够用其SH系数的乘积之和表示：

以上一、二部分是球谐基函数的理论部分，其中参考了网上的大量资料，当时参考的比较多，放的比较乱就不一一列出,比如PBRT等等。

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三、TR-Rendering

        球谐光照用新的光照方程来替代通常所说的光照方程，把方程中的信息使用球谐基函数Projectd到频域空间中，在渲染的时候可以使用SH系数来对原始光照方程还原渲染场景，

        球谐光照是一种把场景中光的分布从时域转换到频域的过程，和傅里叶变换道理是一样的：

     

   把 environment light irradiance 一个2D的函数L（s），把这个函数project到球坐标上，即表示在频率空间上，其中参数有球谐基函数yi和相应的参数Ci,当给定一个环境映射，   可以离线的预计算Ci,然后在渲染的时候计算上面说的《近视原始函数计算公式》f丿来渲染场景中物体表面上的点的辐射照度 irradiance。我们使用2阶(0,1,2)的球谐基就已经足够能模拟出漫反射辐射照度，因为漫反射辐射照度是一个低频率的函数，需要3*3=9个SH系数。在计算SH系数时，每一个SH函数分离到3个通道RGB三通道来计算输出，最后要有27个参数

Irradiance :

其中n是每个点的法向，w是光照方向，L（w）是整个的envirment map.

  

   采样：

   Simle randon sampling(单纯随即采样)

   Systematic sampling(系统采样)随即采样、等距采样，先将总体的观察单位按某一顺序号分成N个部分，再从第一部分抽取第K号观察单位，依次使用相等间距，从每一部分各抽取一个观察单位组成样本。           

  Cluster sampling（整群抽样）总体分群，在随机抽取几个群组组成样本，群内全部调查。

  Stratified sampling（分层采样）先对观察指标样本影响比较大的某种特征，将总体分为若干个类别，再从每一层内随即抽取一定数量的观察单位，合起来组成样本