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Shader数学基础：向量（矢量）
- 前言
- 笛卡尔坐标系
- 二维笛卡尔坐标系
- 三维笛卡尔坐标系
- 点和向量
- 介绍
- 区别
- 向量运算
- 向量和标量的乘法和除法
- 向量的加法和减法
- 向量的模
- 单位向量
- 向量点积
- 代数方式
- 几何方式
- 几何意义
- 向量叉积
- 二维坐标系旋转
- 二维坐标系平移
- 二维坐标系旋转和平移
前言
笛卡尔坐标系
二维笛卡尔坐标系
一个二维的笛卡尔坐标系包含了两个部分的信息：
一个特殊的位置，即原点，它是整个坐标系的中心。
两条过原点的互相垂直的矢量，即X轴和Y轴。这些坐标轴也被称为是该坐标的矢量。
OpenGL 和 DirectX 使用了不同的二维笛卡尔坐标系。OpenGL也就是Unity默认的坐标系是以左下角为原点，DirectX是以左上角为原点。如下图：
三维笛卡尔坐标系
在三维笛卡尔坐标系中，我们需要定义三个坐标轴和一个原点
3个坐标轴被称为该坐标系的基矢量，3个坐标轴互相垂直，长度为1，这样的基矢量被称为标准正交基，如果长度不为1，被称为正交基。当然，坐标轴方向也不是固定的，涉及到z轴向里为正还是向外为正，也就有了大家熟知的左手坐标系和右手坐标系。
三维笛卡尔坐标系分为2种不同的坐标系：左手坐标系（left-handed coordinate space）和右手坐标系（right-handed coordinate space）。
Unity使用的是左手坐标系。但对于观察空间来说，Unity使用的是右手坐标系。观察空间，通俗来讲就是以摄像机为原点的坐标系。在这个坐标系中，摄像机的前向是z轴的负方向，这与在模型空间和世界空间中的定义相反。也就是说，z轴坐标的减少意味着场景深度的增加。
点和向量
介绍
点（point）：是n维空间（游戏中主要使用二维和三维空间）中的一个位置，它没有大小、宽度这类概念。
向量（vector，也被称为矢量）：是指n维空间中一种包含了模（magnitude）和方向（direction）的有向线段。速度（velocity）就是一种典型的向量。向量被用于表示相对于某个点的偏移，也就是说是一个相对量。
向量的模：指的是这个向量的长度。一个向量的长度可以是任意的非负数。
向量的方向：则描述了这个向量在空间中指向。
向量通常由一个箭头表示
向量的头（head）：是它的箭头所在的端点处。
向量的尾（tail）：是另一个端点处。
只要向量的模和方向保持不变，无论在哪里，都是同一个向量。
标量（scalar）：只有模没有方向。例如距离（distance）就是一种标量。
区别
向量可以用于表示相对于另一个点的位置，此时向量的尾是一个位置，那么向量的头就可以表示另一个位置了。如果我们把向量的尾固定在坐标系原点，那么这个向量的表示就和点的表示重合了。尽管点和向量在数学表达式上都是一样的，但区分点和向量之间的不同是非常重要的。可以这样理解，任何一个点都可以表示成一个从原点位置出发的向量。
点：没有大小之分的空间中的位置
向量：有模和方向，但是没有位置的量，相对量（可以描述相对位置），如果向量的头尾都固定在坐标系的原点，则这个向量就和点重合了。
向量运算
向量和标量的乘法和除法
把一个向量和一个标量相乘，意味着对向量进行一个大小为标量的缩放。
k v → = ( k v x , k v y , k v z ) k\overrightarrow v=(k v_x,k v_y,k v_z) kv=(kvx,kvy,kvz)
一个向量也可以被一个非零的标量除。这等同于和这个标量的倒数相乘。
v → k = ( x , y , z ) k = 1 k ( x , y , z ) = ( x k , y k , z k ) , k ≠ 0 \frac {\overrightarrow v}k=\frac{ (x,y,z) } k=\frac 1k (x,y,z)=(\frac xk,\frac yk,\frac zk),k≠0 kv=k(x,y,z)=k1(x,y,z)=(kx,ky,kz),k=0
注意：对于乘法来说，向量和标量的位置可以互换的。但对于除法，只能是向量被标量除，而不能是标量被向量除，这是没有意义的。当k<0时，向量的方向也会取反。
例如，如果想把一个向量放大两倍，就乘以2,。当标量小于0时，向量的方向也会相反。
向量的加法和减法
两个向量进行相加或相减，其结果是一个相同维度的新向量。需要注意的是，一个矢量不能和一个标量相加或相减。矢量的加减法遵守三角法则。
a → + b → = ( a x + b x , a y + b y , a z + b z ) \overrightarrow a+\overrightarrow b=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z) a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)
a → − b → = ( a x − b x , a y − b y , a z − b z ) \overrightarrow a-\overrightarrow b=(a_x-b_x,a_y-b_y,a_z-b_z) a−b=(ax−bx,ay−by,az−bz)
向量的模
向量的模是一个标量，是向量在空间中的长度。对于二维向量，其实就是使用了勾股定理，两个直角边的长度为向量的分量的绝对值，斜边的长度为向量的模。
向 量 a b → 的 大 小 ， 也 就 是 向 量 a b → 的 长 度 （ 或 称 模 ） ， 记 作 ∣ a b → ∣ 向量\overrightarrow {ab}的大小，也就是向量\overrightarrow {ab}的长度（或称模），记作|\overrightarrow {ab}| 向量ab的大小，也就是向量ab的长度（或称模），记作∣ab∣
∣ v → ∣ = v x 2 + v y 2 + v z 2 |\overrightarrow v| = \sqrt {v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} ∣v∣=vx2+vy2+vz2
单位向量
很多情况下，我们只关心向量的方向而不是模。比如光照模型中，往往需要知道法线方向和光源方向，这种情况下我们不关心向量有多长，这样就需要计算单位向量。单位向量指的是模为1的向量，也被称为被归一化的向量（normalized vector），而把非零向量转换为单位向量的过程被称为归一化。计算单位向量公式如下：
∣ v ^ ∣ = v ∣ v ∣ , v 是 非 零 向 量 |\hat v|= \frac v {|v|},v是非零向量 ∣v^∣=∣v∣v,v是非零向量
向量点积
点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。
代数方式
a ⋅ b = ( a x , a y , a z ) ⋅ ( b x , b y , b z ) = a x b x + a y b y + a z b z a \sdot b = (a_x,a_y,a_z) \sdot (b_x,b_y,b_z) = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z a⋅b=(ax,ay,az)⋅(bx,by,bz)=axbx+ayby+azbz
矢量的点积满足交换律：
a ⋅ b = b ⋅ a a \sdot b = b \sdot a a⋅b=b⋅a
点积具有一些很重要的性质，在Shader计算中，我们经常利用这些性质来帮助计算。
性质一：点积可以结合标量乘法，也就是说，对点积中其中一个矢量进行缩放的结果，相当于对最后的点积结果进行缩放，即：
( k a ) ⋅ b = a ⋅ ( k b ) = k ( a ⋅ b ) (ka)\sdot b = a \sdot (kb) = k(a\sdot b) (ka)⋅b=a⋅(kb)=k(a⋅b)
性质二：点积可以结合矢量加法和减法，也就是说，点积的操作数可以是矢量相加或相减后的结果。即：
a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c a \sdot (b + c)= a \sdot b + a \sdot c a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
性质三：一个矢量和本身进行点积的结果，是该矢量的模的平方，这可以用来比较两个矢量的长度大小。
v ⋅ v = v x v x + v y v y + v z v z = ∣ v ∣ 2 v \sdot v= v_xv_x + v_yv_y + v_zv_z = |v|^2 v⋅v=vxvx+vyvy+vzvz=∣v∣2
几何方式
a ⋅ b = ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ a \sdot b = |a| |b| \cos \theta a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ
两个矢量的点积可以表示为两个矢量的模相乘，再乘以他们之间夹角的余弦值。
利用余弦定理推导：
∣ c ∣ 2 = ∣ a ∣ 2 ∣ b ∣ 2 − 2 ∣ a ∣ ∣ b ∣ cos θ |c| ^2= |a|^2 |b|^2 - 2|a| |b| \cos \theta ∣c∣2=∣a∣2∣b∣2−2∣a∣∣b∣cosθ
∣ c ∣ 2 = c ⋅ c = ( a − b ) ⋅ ( a − b ) = a ⋅ a + b ⋅ b − 2 a ⋅ b |c| ^2= c \sdot c = (a-b) \sdot (a-b) = a \sdot a + b \sdot b - 2a \sdot b ∣c∣2=c⋅c=(a−b)⋅(a−b)=a⋅a+b⋅b−2a⋅b
从这个公式可以看出两个向量的夹角对于点积结果的影响，小于90度为正，等于90度为0，大于90度为负。还可以用反余弦求出两个向量的夹角。
cos θ = a ⋅ b ∣ a ∣ ∣ b ∣ \cos \theta = \frac {a \sdot b}{|a| |b|} cosθ=∣a∣∣b∣a⋅b
几何意义
点积的几何意义中一个重要的几意义是投影（projection），点积的符号可以让我们知道两个矢量的方向关系。
向量叉积
叉积在图形学中常用于计算垂直于一个三角面的向量，用于判断三角面片的朝向等。
a ∧ b = ( a x , a y , a z ) ∧ ( b x , b y , b z ) = （ a y b z − a z b y , a z b x − a x b z , a x b y − a y b x ) a\wedge b=(a_x,a_y,a_z)\wedge (b_x,b_y,b_z) =（a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x) a∧b=(ax,ay,az)∧(bx,by,bz)=（aybz−azby,azbx−axbz,axby−aybx)
三维向量叉积的计算规律。不同颜色的线表示了计算结果向量中对应颜色的分量的计算路径。
以红色为例，即结果向量的第一个分量，它是从第一个向量的y分量出发乘以第二个向量的z分量，再减去第一个向量的z分量和第二向量的y分量的乘积
向量的叉积满足反交换律：
a ∧ b = − b ∧ a a\wedge b=-b\wedge a a∧b=−b∧a
向量的叉积不满足交换律，也不满足结合律：
a ∧ b / = b ∧ a a\wedge b \mathrlap{\,/}{=} b \wedge a a∧b/=b∧a
( a ∧ b ) ∧ c / = a ∧ ( b ∧ c ) (a\wedge b) \wedge c \mathrlap{\,/}{=} a \wedge (b \wedge c) (a∧b)∧c/=a∧(b∧c)
叉积的几何意义：
两个向量叉积会得到一个同时垂直于这两个向量的新向量
∣ a ∧ b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ s i n θ , 其 中 ∣ a ∧ b ∣ 的 值 为 : 以 a 和 b 为 两 边 的 平 行 四 边 形 的 面 积 |a \wedge b|= |a| |b| sin \theta ,其中|a \wedge b|的值为:以a和b为两边的平行四边形的面积 ∣a∧b∣=∣a∣∣b∣sinθ,其中∣a∧b∣的值为:以a和b为两边的平行四边形的面积
我们知道两个方向互不平行的向量可以确定一个平面，所以叉积最常见的应用就是计算垂直于一个平面的向量，我们后面会在顶点法线，切线那里用到。