小白的学习笔记——背包问题(2)（多重背包，分组背包）

1：即视感——多重背包（二进制优化）

  ：”师傅，有人下来战书，约我等明日决战，如何对敌？”
  我接过战书，只见上面写道：
      你瞅你领那个贵物，我告诉你，来沈阳，没你好果汁吃！
                                东百虎哥
  ？有人挑衅？冲了他！
  这次，我们师徒二人潜入了沈阳大街好果汁饮料店。
  只见货架上摆着各种各样、价值不一的饮料（是我们获得的价值，不是买饮料需要的价格哦），不过每种饮料的数目都有限。
   （说人话，这个问题是：有n件物品，已知这n件物品的重量、价值、个数，求解将哪些物品装入背包使得价值总和最大。——多重背包问题）
  ：“来吧徒儿，为师考考你，你觉得怎么偷？”
  你想了一下，说 ：“感觉，像是介于01和完全中间的问题，不过这次有一个限制条件：个数有限。”
  ：“嗯，不错，老规矩,先简化一下问题，只看前四种饮料，然后写程序吧。”

i（编号）	1	2	3	4
w（每件的重量）	3	5	9	8
v（每件的价值）	9	9	4	1
c（每件的个数）	3	1	2	3

我们的背包最大容量p=20；
  你想了想，动手在01背包的程序上改了改：

	for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=p;j>=0;j--)
            for(int k=1;k<=c[i];k++)
                if(j>=k*w[i])
                    f[j]=max(f[j],f[j-k*w[i]]+k*v[i]);
                    

运行结果：47

  ：“就问你这程序写的彳亍不彳亍！”
  我说：“⑧太行。虽然结果没毛病，但是，作为一名有素养的盗贼，不光要准，还要快！我觉得三层循环不行，来，为师让它给力点。”
  首先，我们来玩个游戏：把20，拆成依次增加的、多个2的n次方的和，如果到最后拆不出来，就直接加上它。
  当然，这对你来说没什么难度，你很轻松的写了出来：22=2⁰+2¹+2²+2³+7。
  现在，事情就变得神奇了起来。看一下2⁰，2¹，2²，2³，他们的组合，可以表示出任意小于等于2⁰+2¹+2²+2³数的和（不懂的话，把2⁰+2¹+2²+2³转换成二进制形式，你就明白了），而通过这些数和最后一个数字7，就能表示出16~22之间的所有数字了。
  ：“然后嘞？”
  假设，有22件物品A，我们把这22件分成5组，每组分别有2⁰，2¹，2²，2³，7件，再把每一组都看成是一件新的物品，并且我们可以算出以上五件新的物品的价值和所占空间。于是我们可以通过这五件物品的组合，来得到这22件物品A的所有选取方案。
  ：“也就是说，对每一种物品进行分组，然后…对于分出来的所有组，就可以通过01背包来得到答案了！”
  ：“干得漂亮徒儿！”，我称赞到。：“顺便说一下，刚才把数字拆分的过程叫二进制优化哦。”
  于是，你写出了代码：

#include
using namespace std;
int f[3000],w[1000],v[1000];
int main()
{
    int n,p,a,b,c,num=0;//num即为最后进行01背包的个数
    cin>>n>>p;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a>>b>>c;//价值 重量 件
        for(int i=1;i<=c;i*=2)//二进制优化
        {
            v[++num]=a*i;
            w[num]=b*i;
            c-=i;
        }
        if(c)//c！=0，也就是最后拆不出来的数字
        {
            v[++num]=a*c;
            w[num]=b*c;
        }
    }
    for(int i=1;i<=num;i++)
        for(int j=p;j>=w[i];j--)
            f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
    cout<<f[p]<<endl;

    return 0;
}

（这里还有一种利用单调队列的优化方式，本菜鸡还没有具体学习，之后（也许）会补上的）
  学会的话，去做题吧 洛谷P1776

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2：可口VS百事——分组背包

  偷啊偷，偷啊偷…
  ：“等一下，李在赣神魔？”，我连忙打断了想往背包里装入百事可乐的你。
  ：“怎么了？”
  ：“你竟然不装可口，装百事？简直是偷界之耻！”
  ：“蛤？不会真的有人不喜欢百事吧，那可挺令人恶心的。”
  &&……&！！！#￥！……**&……&……&！@#@！！**！！@#￥#&
  一番嘴炮以后，我们意识到：人类之间的悲喜并不相通，就像是百事与可口无法互相理解。
  大半夜的，两个人都想赶紧收工，于是折中一下——对于同一类型的饮料，只能选择一个牌子，即百事和可口只能二选一，选谁就看谁值得了。（这里我们认为，每种饮料只有1瓶）
  (说人话，这个问题是：有n件物品，告诉你这n件物品的重量以及价值，将这些物品划分为k组，每组中的物品互相冲突，最多选一件，求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。——分组背包问题)

  这里是数据:

i（编号）	1	2	3	4	5	6
w（每件的重量）	2	3	4	6	2	3
v（每件的价值）	1	3	8	9	8	9
num（属于哪组）	1	1	2	2	3	3

  我们的背包最大容量p=10；
  呵~~~~为师好困，这个问题不算难，这次就不用你出手了。
  其实，它还是一个稍微复杂点的01背包（上一篇文章我提到过，一定要搞明白01背包）
  来，复习一下状态转移方程：

  哦当然，还有被我们用烂的降维简化版本：

  回到刚才的问题。比起01背包的选不选择第i件物品，这个问题不过是变成了选不选第i组物品，选的话选哪件。
  我们可以在01背包的基础上，进行一些改动。

	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=p;j>=w[i];j--)
	    	f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);

  首先，将第一层循环的件数，改成组数；
  第二次循环不变；
  再加上第三层循环：判断第i组的第k件是否选择。
  修改完的代码变成：

	for(int i=1;i<=num;i++)//num是一共有多少组
		for(int j=p;j>=0;j--)//p还是容量
	    	for(int k=0;k<=cc[i];k++)//这里的cc[i],是第i组中一共有几件物品
	    		if(j>=w[q[i][k]])//q[i][k]，是第i组的第k件物品
	    			f[j]=max(f[j],f[j-w[q[i][k]]]+v[q[i][k]]);

  这个代码就是在01背包上又套了一层。
  其实，如果写一句int h=q[i][k]，你会发现，它又变成了这个样子：

  又回到最初的起点 ~记忆中你青涩的脸 ~
  所以说，01背包，是重中之重！
  学会的话，去做题吧 洛谷P1757
  一番愉悦的选择后，我们又偷了个盆满钵满，该收工了。
  ；“站住！”
  角落里传来了一道声音…

  欲知后事如何，请看下回分解…

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  第二篇关于背包的文章，欢迎大佬们批评指正~
  这里是上一篇的链接：01背包，01背包优化，完全背包 戳我戳我