复数与复平面

第一节  复数及其几何表示

1、复数域
每个复数 具有 的形状，其中 和 ， 是虚数单位； 和 分别称为 的实部和虚部，分别记作 ， 。
复数 和 相等是指它们的实部与虚部分别相等。
如果 ，则 可以看成一个实数；如果 ，那么 称为一个虚数；如果 ，而 ，则称 为一个纯虚数。
复数的四则运算定义为：
 
 
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C。
2、复平面：
C也可以看成平面 ，我们称为复平面。
作映射： ，则在复数集与平面 之建立了一个1-1对应。
 
横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。
复数可以等同于平面中的向量， 。向量的长度称为复数的模，定义为： ；
向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为： （ ）。
复数的共轭定义为： ；
复数的三角表示定义为： ；
复数加法的几何表 
 
设 、 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图：
关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：
（1）、 ；（2）、 ；
（3）、 ；（4）、 ；
（5）、 ；（6）、 ；
例1  试用复数表示圆的方程：
    （ ）
其中，a,b,c,d是实常数。
解：方程为     ，其中 。
例2、设 、 是两个复数，证明
 
 
利用复数的三角表示，我们可以更简单的表示复数的乘法与除法：设 、 是两个非零复数，则有
 
则有
 
即 ， ，其中后一个式子应理解为集合相等。
同理，对除法，有
 
即 ， ，其后一个式子也应理解为集合相等。
例3、设 、 是两个复数，求证：
 
例4、作出过复平面C上不同两点a,b的直线及过不共线三点 a,b,c的圆的表示式。
 
 
           
 
 

解：直线： ；圆： 利用复数的三角表示，我们也可以考虑复数的乘幂：
 
令 ，则
 
进一步，有
 
共有 -个值。
例5、求 的所有值。
解：由于 ，所以有
 
 
其中， 。
3、复球面与无穷大：
在点坐标是  的三维空间中，把 xOy面看作就是 面。考虑球面 ： 取定球面上一点 称为球极。 
 
我们可以建立一个复平面C到 之间的一个1-1对应：
 
 ， ， 。
我们称上面的映射为球极射影。对应于球极射影为 ，我们引入一个新的非正常复数无穷远点 ，称 为扩充复平面，记为 。
关于 ，其实部、虚部、辐角无意义，模等于 ；基本运算为（ 为有限复数）：
 ； ；
 。