动态规划入门-完全背包与多重背包问题

物品不止有一个的情况，物品不止有一个也分两种。
一种是不作任何限制，要多少有多少，这种称为完全背包问题；
另一种是依然有个数限制，这种称为多重背包问题。

一、完全背包

在背包问题当中，背包的容量是状态，而选择哪个物品进行获取则是决策，当我们制定了一个决策之后，背包会从一个状态转移到另一个状态。而动态规划算法就是枚举所有状态和决策，获得所有的状态转移，并且记录这个过程中每个状态能够获得的最优解。

在完全背包问题当中，我们去掉了个数的限制，也就意味着决策之间不再有后效性，一个决策可以重复应用在各个状态当中。

整个算法其实非常简单，几乎就是零一背包的代码。只不过我们把其中倒叙遍历的背包状态再”修正“回来。

之前我们为了避免物品的重复获取，所以采用了倒叙遍历的方法，如今我们不再对数量进行限制，意味着我们可以自由地采取决策进行转移。要做到这点，其他的代码都不用修改，只需要将第二重循环枚举的状态，再换成从0开始的正向遍历即可。

dp = [0 for _ in range(11)]

items = [[6, 10], [5, 8], [5, 9]]

# 遍历物品
for v, w in items:
# 遍历背包空间（状态）
# 更新vp+v的状态，即当前容量放入物品之后的状态
for vp in range(0, 10-v+1):
 dp[vp+v] = max(dp[vp+v], dp[vp] + w)

print(max(dp]))

在第一种循环当中，我们遍历了所有的物品，每一个物品对应了一种决策。每一个决策可以应用在各个状态上。

在完全背包当中，由于所有的物品都可以无限获取。所以我们可以引入一些零一背包不能进行的优化，比如对于同样体积的物品而言，我们可以只保留价值最高的物品，将其他的物品过滤掉。这个思路很朴素，我想大家应该都能理解。

比如两个物品体积都是3，一个价值是4，另一个价值是3，我们完全可以忽略价值是3的那一种。因为两者带来的状态转移是一样的，但是明显前者收益更好。而这个优化在零一背包当中不可行是因为每个物品只有一个，很有可能会出现两者都要的情况。在完全背包当中则没有这个问题。

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二、多重背包

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参考文章：

1. 一篇公众号文章