数据结构——树和二叉树_干货笔记

树的定义和基本术语

1.树型结构是一类非线性数据结构，树是以分支关系定义的层次结构。
2.树是n（n≥0）个结点的有限集。在任意一课非空树中：
（1）有且仅有一个特定的称为根的结点。
（2）当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个
集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。
3.树的结点包含一个数据元素及若干指向其子树的分支。
4.度：结点拥有的子树数称为结点的度。
5.叶子/终端结点：度为0的结点。
6.分支结点/非终端节点：度不为0的结点。
7.树的度：树内各结点的度的最大值。
8.祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点。
9.子孙：以某结点为根的子树中任一结点。
10.深度/高度：树中结点的最大层次。
11.有序树：将树中结点的各子树看成从左至右是有次序的（即不能互换），称该树为有序树
12.森林：森林是m（m≥0）棵互不相交的树的集合。对树中的每个结点而言，其子树的集合
即为森林。
13.就逻辑结构而言，任何一棵树是一个二元组Tree=（root，F），其中：root是数据元素，
称做树的根节点；F是m（m≥0）棵树的森林，F=（T1,T2,...,Tm），其中Ti=（r，Fi）称
做根root的第i棵子树；当m≠0时，在树根和其子树森林之间存在下列关系：
RF=｛|i=i,2,...,m,m>0｝
14.树的逻辑结构：
（1）特点：一对多（1：n）
（2）除了根结点，其余结点都只有一个直接前驱，有多个直接后，且子树之间互不相交。
15.树的存储结构：顺序存储、链式存储

二叉树

1.二叉树是另一种树形结构，它的特点是每个结点至多只有两棵子树。是n（n≥0）个结点
的有限集合，由一个根结点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成 。
2.所有有序树都能转为唯一对应的二叉树。
3.逻辑结构：  一对二（1：2） 
4.基本特征：① 每个结点最多只有两棵子树（不存在度大于2的结点）；
			② 左子树和右子树次序不能颠倒（有序树）。.

5.二叉树的性质：
（1）在二叉树的第i层至多有2^(i-1)个结点（i≥1）。

（2）深度为k的二叉树至多有2^(k)-1个结点，（k≥1）。

（3）对任何一棵二叉树T，如果其终端结点树为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1。
（4）设n1为二叉树T中度为1的结点数，由于二叉树中所有结点的度均小于或等于2，所以
其结点总数为：n=n0+n1+n2.
（5）结点总数=分支数（B）+1； 终端结点数（n0）=（度为2结点数）n2+1。
（6）满二叉树：一棵深度为k且有2^(k)-1个结点的二叉树。
	满二叉树的特点：
		① 叶子只能出现在最下一层；
		② 只有度为0和度为2的结点。
（7）完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点
与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同。
（8）在满二叉树中，从最后一个结点开始，连续去掉任意个结点，即是一棵完全二叉树.
（9）完全二叉树的特点：
		1️⃣叶子结点只能出现在最下两层，且最下层的叶子结点都集中在二叉树的左部。
		2️⃣完全二叉树中如果有度为1的结点，只可能有一个，且该结点只有左孩子。
		3️⃣深度为k的完全二叉树在k-1层上一定是满二叉树。
（10）具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2N]（方括号代表取整）+1.
（11）具有n个结点的完全二叉树的叶子结点个数为n/2个。

（11）对n个结点的完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i 的结点，其左孩子
编号必为2i（2i>n无左孩子），其右孩子编号必为2i＋1 （2i＋1>n无右孩子） ；其双亲
的编号必为 [ i/2 ] （i＝1 时为根,除外）

树和森林

1.	树的先序遍历等价于二叉树的先序遍历  树的后序遍历等价于二叉树的中序遍历。
2.	森林的先序遍历等价于二叉树的先序遍历！森林的中序遍历等价于二叉树的中序遍历

前序遍历树

后序遍历树

层序遍历树

森林先序和中序遍历

注意

赫夫曼树及其应用

1.路径：由一结点到另一结点间的分支所构成。
2.路径长度：路径上的分支数目。
3.树的路径长度：从树根到每一结点的路径长度之和。
4.带权路径长度(WPL)：结点到根的路径长度与结点上权的乘积。
5.树的带权路径长度：树中所有叶子结点的带权路径长度之和
6.哈 夫 曼 树：带权路径长度最小的二叉树
7.哈夫曼树的特点：
(1). 权值越大的叶子结点越靠近根结点，而权值越小的叶子结点越远离根结点。 
(2). 只有度为0（叶子结点）和度为2（分支结点）的结点，不存在度为1的结点. 

补充：
树的基本概念
1.结点的度：结点挂起的子树数
2.树的度：所有结点度中的最大值。

树的存储结构：
3.树的顺序存储：从上至下、从左至右将树的结点依次存入内存。
重大缺陷：复原困难（不能唯一复原就没有实用价值）。
4.树的链式存储：可用多重链表：一个前趋指针，n个后继指针。
缺点：等长结构太浪费（每个结点的度不一定相同）；
不等长结构太复杂（要定义好多种结构类型）。
5.解决思路：即把一般的树转换为二叉树—左孩子右兄弟的方法。研究最简单、最有规律的二叉树即可。

图片来源：XX大学授课PPT