齊次坐標的理解

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一直對齊次坐標這個概念的理解不夠徹底，只見大部分的書中說道「齊次坐標在仿射變換中非常的方便」，然後就沒有了後文，今天在一個叫做「三百年 重生」的博客上看到一篇關於透視投影變換的探討的文章，其中有對齊次坐標有非常精辟的說明，特別是針對這樣一句話進行了有力的證明：「齊次坐標表示是計算機圖形學的重要手段之一，它既能夠用來明確區分向量和點，同時也更易用於進行仿射（線性）幾何變換。」——F.S. Hill, JR。

     由於作者對齊次坐標真的解釋的不錯，我就原封不動的摘抄過來：

     對於一個向量v以及基oabc，可以找到一組坐標(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c          （1）

 而對於一個點p，則可以找到一組坐標（p1,p2,p3），使得 p – o = p1 a + p2 b + p3 c           （2），

 

從上面對向量和點的表達，我們可以看出為了在坐標系中表示一個點（如p），我們把點的位置看作是對這個基的原點o所進行的一個位移，即一個向量——p – o（有的書中把這樣的向量叫做位置向量——起始於坐標原點的特殊向量），我們在表達這個向量的同時用等價的方式表達出了點p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)

 

(1)(3)是坐標系下表達一個向量和點的不同表達方式。這裡可以看出，雖然都是用代數分量的形式表達向量和點，但表達一個點比一個向量需要額外的信息。如果我寫出一個代數分量表達(1, 4, 7)，誰知道它是個向量還是個點！

    我們現在把（1）（3）寫成矩陣的形式：v = (v1 v2 v3 0) X (a b c o)

p = (p1 p2 p3 1) X (a b c o),這裡(a,b,c,o)是坐標基矩陣，右邊的列向量分別是向量v和點p在基下的坐標。這樣，向量和點在同一個基下就有了不同的表達：3D向量的第4個代數分量是0，而3D點的第4個代數分量是1。像這種這種用4個代數分量表示3D幾何概念的方式是一種齊次坐標表示。

 

這樣，上面的(1, 4, 7)如果寫成（1,4,7,0），它就是個向量；如果是(1,4,7,1)，它就是個點。下面是如何在普通坐標(Ordinary Coordinate)和齊次坐標(Homogeneous Coordinate)之間進行轉換：

(1)從普通坐標轉換成齊次坐標時

   如果(x,y,z)是個點，則變為(x,y,z,1);

   如果(x,y,z)是個向量，則變為(x,y,z,0)

(2)從齊次坐標轉換成普通坐標時   

   如果是(x,y,z,1)，則知道它是個點，變成(x,y,z);

   如果是(x,y,z,0)，則知道它是個向量，仍然變成(x,y,z)

 

以上是通過齊次坐標來區分向量和點的方式。從中可以思考得知，對於平移T、旋轉R、縮放S這3個最常見的仿射變換，平移變換只對於點才有意義，因為普通向量沒有位置概念，只有大小和方向.

 

而旋轉和縮放對於向量和點都有意義，你可以用類似上面齊次表示來檢測。從中可以看出，齊次坐標用於仿射變換非常方便。

 

此外，對於一個普通坐標的點P=(Px, Py, Pz)，有對應的一族齊次坐標(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等於零。比如，P(1, 4, 7)的齊次坐標有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一個點從普通坐標變成齊次坐標，給x,y,z乘上同一個非零數w，然後增加第4個分量w；如果把一個齊次坐標轉換成普通坐標，把前三個坐標同時除以第4個坐標，然後去掉第4個分量。

 

由於齊次坐標使用了4個分量來表達3D概念，使得平移變換可以使用矩陣進行，從而如F.S. Hill, JR所說，仿射（線性）變換的進行更加方便。由於圖形硬件已經普遍地支持齊次坐標與矩陣乘法，因此更加促進了齊次坐標使用，使得它似乎成為圖形學中的一個標准。

 

   以上很好的闡釋了齊次坐標的作用及運用齊次坐標的好處。其實在圖形學的理論中，很多已經被封裝的好的API也是很有研究的，要想成為一名專業的計算機圖形學的學習者，除了知其然必須還得知其所以然。這樣在遇到問題的時候才能迅速定位問題的根源，從而解決問題。