[数据结构] 数组和特殊矩阵的存储

数组的存储

一维数组

• 数组名实际上就是数组首地址，是一个地址常量，本质上是一个数
• 数组名也可以进行运算，是逻辑上的运算，并不是直接的数字运算
• arr[0]和*arr是一样的
• *(arr+1)和arr[1]是一样的
• arr和&arr[0]是一样的
• 数组存储空间时连续的，是线性的，所以算地址的时候可以用等差数列的公式a[n]地址=a[m]地址+(n-m)*元素占用空间

例证：

#include

int main(void)
{
	char arr1[5] = {'a','b','c','d','e'};
	printf("%d\n",arr1);
	printf("%d\n",&arr1[0]);
	printf("%d\n",*arr1);
	printf("%d\n",arr1[0]);
	printf("%d\n",arr1 + 1);
	printf("%d\n",arr1[1]);
	printf("%d\n",*(arr1 + 1));

	int arr2[5] = {1,2,3,4,5};
	printf("%d\n",arr2);
	printf("%d\n",arr2 + 1);
	printf("%d\n",*(arr2 + 1));
	printf("%d\n",arr2[1]);
	return 0;
}

二维数组

• 二维数组就是每个元素都是一维数组，即arr[0]，arr[1]都是数组
• arr[0]表示第一个数组的首地址，arr[1]是第二个数组的首地址
• 同理arr和arr[0]是一样的；*(arr + 1)和arr[1]是一样的
• *(arr[0]+1)表示arr[0][1]
• *(*(arr+1)+1)等价于*(arr[1]+1)等价于arr[1][1]

例证：

#include

int main(void)
{
	int arr[3][4] = {{1,2,3,4},{5,6,7,8},{9,10,11,12}};
	printf("%d\n",arr);
	printf("%d\n",arr + 1);
	printf("%d\n",*(*arr + 1));
	printf("%d\n",*(arr[0] + 1));
	printf("%d\n",*(*(arr+1) + 1));
	printf("%d\n",*(arr[1] + 1));
	return 0;
}

数组的存储结构

一维数组

数组都是顺序存储的，一个挨着一个，比如int a[5] = {1,2,3,4,5}。int占四个字节，a[0]和a[1]连续，因此差4个字节。根据等差数列通项公式，有

Loc(a[i]) = Loc(a[j]) + (i-j)*size

二维数组

二维数组也是顺序存储的，但是可以按照行存储，也可以按照列存储。算法和上面类似，主要是看差距多少个元素。比如数组a[3][5]，那么a[1][1]和a[2][3]差距多少呢？如果按照行存储，也就是一行一行存，那么差2-1=1行，一行5个数，在加上3-1=2，共差7个元素，所以a[2][3]地址等于a[1][1]地址加上7乘以元素size

特殊矩阵压缩存储

• 对称矩阵：用一维数组只存放上三角或者下三角矩阵
• 上三角矩阵或下三角矩阵：用一维数组存
• 三对角矩阵：一维数组存
• 稀疏矩阵：用三元组（行标，列号，数值）外加（总行数，总列数，非零元素个数）存

对称矩阵

对于一个对称矩阵，假设张下面这样

因为是对称的，所以只存上三角或者下三角就够了，原来一共n*n个元素，用一维数组存只需要1+2+3+4+...+n个元素就够了。

假设存下三角区域，那么第i行第j列是一维数组中第几个元素呢？

第i行第j列（i>=j），1+2+3+4+...+(i-1)+j

可以这么想，第i行第j列前边有几个元素？第一行1个，第二行2个，第i行第j列，前边有i-1行，所以前边有1+2+3+...（i-1）个，再看本行，前边有j-1个，所以这个元素前边有1+2+3+4+...+(i-1)+j-1个元素，所以这个元素是第1+2+3+4+...+(i-1)+j个，如果数组是从0开始，那么下标就是1+2+3+4+...+(i-1)+j-1，那么i<=j的时候就把i和j交换下就行。

下三角矩阵

计算方法和上面类似，一维数组长度是（1+2+3+4+...+n）+1，为啥要加1，因为三角矩阵另一个角是个常数（一般是0，当然也可以是别的）。同理，i>=j时，第i行第j列前边共有1+2+3+4+...+(i-1)+j-1个元素，所以这个元素是第1+2+3+4+...+(i-1)+j个，当i

上三角矩阵

上三角和上面类似，一维数组长度仍然是（1+2+3+4+...+n）+1，只是第一行有n个，第2行有n-1个，第i行有n-i+1个，当i<=j时，前边有[n+(n-1)+(n-2)+...+(n-(i-1)+1)]+(j-i)个元素，所以这个元素是第[n+(n-1)+(n-2)+...+(n-(i-1)+1)]+(j-i)+1个。当i>j时，即是下三角区域，就存到最后，即第（1+2+3+4+...+n）+1个元素。

稀疏矩阵

对于稀疏矩阵（大多数元素是0的），只存储非零元素，比如这个矩阵就是这么存的。

当然，还要存储数组的行数，列数和非零元素个数，如下

三对角矩阵

三对角矩阵长这样子：

只存储主对角线及其上、下两侧次对角线上的元素，其他的零元素一律不存储。对一个n*n的三对角方阵A，元素总数有n*n个，而其中非零的元素共有3*n-2个。因此，存储三对角矩阵时最多只需存储3*n-2个元素。

这个不是很好找规律，由于是线性的，可以用待定系数法求出。