树(三)：哈夫曼树和哈夫曼编码

作为数据结构的课程笔记，以便查阅。如有出错的地方，还请多多指正！

注：C++忘得太厉害了。。算法先用C实现，等之后复习了再改成C++

基本概念

• 路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的~
• 路径长度：路径上的分支数
• 树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和
• 树的带权路径长度($wpl$：Weighted Path Length)：树中所有带权结点的路径长度之和
  $$WPL=\sum _{k=1}^n{w}_k{l}_k$$

定义

• 哈夫曼树(Huffman) / 最优二叉树 ——带权路径长度最短的树

构造Huffman树

贪心算法：权值大的结点更靠近根

• 根据给定的$n$个权值$\{w_1,w_2,\dots \dots w_n\}$，构造$n$棵只有根结点的二叉树，根结点的权值分别为$w_j$
• 在森林中选取两棵根结点权值最小的二叉树作为左右子树，构造一棵新的二叉树，新二叉树根结点的权值为其左右孩子的权值之和
• 在森林中删除这两棵二叉树，并将新二叉树加入森林中
• 重复上面两步(重复$n-1$次)，直到森林中只含一棵二叉树为止，这棵树即哈夫曼树

因为要合并$n-1$次，每次合并就会多出一个结点，因此有$n$个叶结点的Huffman树共有$(n-1)+n=2n-1$个结点($n_0=n,n_1=0,n_2=n-1$)

应用

最佳判定树

例：编制一个将百分制转换成五分制的程序

如果用下面的判定树，则80%以上的学生要经过2次以上的比较

为了使比较次数最少，将比例作为权值构建如下Huffman树：

进而得到最佳判定算法：

Huffman编码

在数据通信中涉及到数据编码问题

若要设计不等长编码，则必须是任意字符的编码都不是另一个字符的编码的前缀，这种编码叫前缀编码

• 思想：根据字符出现频率编码，使电文总长最短(即频率越大的字符编码得到的二进制字符串越短)

• 编码：根据字符出现频率构造Huffman树，然后将树中结点引向其左孩子的分支标“0”，引向其右孩子的分支标“1”；每个字符的编码即为从根到每个叶子的路径上得到的0、1序列

• 译码：从Huffman树根开始，从待译码电文中逐位取码。若编码是“0”，则向左走；若编码是“1”，则向右走，一旦到达叶子结点，则译出一个字符；再重新从根出发，直到电文结束
  

• 哈夫曼编码的正确性：

1. 哈夫曼编码得出的编码肯定是前缀编码(数据仅存在于叶结点)
2. 编码长度最短($WPL$最短)

• 下面是我用最小堆(最小堆的具体实现之后会发到专门的博客里)实现的算法，整体时间复杂度为$O(nlogn)$

//用于最小堆中的比较大小
int Huffman_tree_larger(pBiTree_t t1, pBiTree_t t2)
{
	return (t1->data > t2->data);
}

//树中结点
pBiTree_t Build_huffman_tree(TreeElementType_t weight[], int size)
{
	Heap_t min_heap;
	pBiTree_t tree;

	Create_min_heap(&min_heap);

	//向最小堆中插入n个元素：T(n)=O(nlogn)
	for (int i = 0; i < size; ++i)
	{
		tree = (pBiTree_t)malloc(sizeof(BiTree_t));
		tree->data = weight[i];
		tree->L = NULL;
		tree->R = NULL;

		Min_heap_insert(&min_heap, tree, Huffman_tree_larger);
	}

	//删除2(n-1)次，插入n-1次：T(n)=O(nlogn)
	for (int i = 0; i < size - 1; ++i)
	{
		tree = (pBiTree_t)malloc(sizeof(BiTree_t));
		tree->L = Min_heap_delete(&min_heap, Huffman_tree_larger);
		tree->R = Min_heap_delete(&min_heap, Huffman_tree_larger);
		tree->data = tree->L->data + tree->R->data;
		Min_heap_insert(&min_heap, tree, Huffman_tree_larger);
	}

	return Min_heap_delete(&min_heap, Huffman_tree_larger);//返回哈夫曼树的根结点
}