算法设计与分析(三)之贪心算法

前面两篇：

算法设计与分析之分治思想

算法设计与分析(二)之动态规划

贪心算法的特点

设计要素：

1. 贪心法适用于组合优化问题。

2. 求解过程是多不判断过程，最终的判断序列对应于问题的最优解。

3. 依据某种“短视的”贪心选择性质判断，性质好坏决定算法的成败。

4. 贪心法必须进行正确性证明。

5. 证明贪心法不正确的技巧：举反例。

贪心法的优势：算法简单，时间和空间复杂性低

最优装载问题

问题：

n个集装箱1,2,3,…..,n装上轮船，集装箱i的重量wi，轮船装载重量限制为C，无体积限制。问如何装是的上船的集装箱最多？不妨设每个箱子的重量Wi<=C.

该问题是0-1背包问题的子问题，集装箱相当于物品，物品重量是Wi，价值Vi都等于1，轮船载重限制C相当于背包重量限制b。

建模：

设 < x1,x2,x3,x4….,xn >表示解向量，Xi=0,1，Xi=0当且仅当第i个集装箱装上船

算法设计

• 贪心策略：轻者优先

• 算法设计： 
  将集装箱排序，使得 
  W1<=W2<=…<=Wn 
  按照标号从小到大装箱，直到装入下一个箱子将使得集装箱 总重超过轮船装载重量限制，则停止。

正确性证明思路

• 命题：对装载问题任何规模为n的输入实例，算法得到最优解。

• 设集装箱从轻到中记为1,2,3…,n

• 归纳基础：证明对任何只含1个箱子的输入实例，贪心法得到最优解。显然正确

• 归纳步骤： 证明：假设对于任何n个箱子的输入实例贪心法都能得到最优解，那么对任何n+1个箱子的输入实例贪心法也得到最优解。

小结

• 装载问题是0-1背包问题的子问题（每件物品重量为1），NP难的问题存在多项式时间可解的子问题

得不到最优解的问题的处理方法

找零钱问题

最小生成树

Prim算法

Kruskal算法

单源最短路径问题及算法

Dijkstra算法

贪心法小结

• 贪心法适用于组合优化问题

• 求解过程是多步判断过程，最终的判断序列对应于问题的最优解

• 判断依据某种“短视的”贪心选择性质，性质的好坏决定了算法的正确性。贪心性质的选择往往依赖于直觉或经验。

• 贪心法正确性证明方法： 
  1).直接结算优化函数，贪心法的解恰好取得最优值 
  2).数学归纳法（对算法步数或者问题规模归纳） 
  3). 交换论证

• 证明贪心策略不对：举反例

• 对于某些不能保证对所有的实例都得到最优解的贪心算法（近似算法），可做参数化分析或者误差分析

• 贪心法的优势：算法简单，时间和空间复杂性低

• 几个著名的贪心算法 
  最小生成树的Prim算法 
  最小生成树的Kruskal算法 
  单源最短路的Dijkstra算法

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