数据结构——图的连通性（生成树、最小生成树、生成森林）（Prim算法）（Kruskal算法）

1、求图的生成树（或生成森林）

      生成树：是一个极小连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有n-1条边。

      生成森林： 由若干棵生成树组成，含全部顶点，但构成这些树的边是最少的。

      深度优先搜索生成树： 由深度优先搜索得到的生成树

      广度优先搜索生成树： 由广度优先搜索得到的生成树

      若对连通图进行遍历，得到的是图的生成树

      若对非连通图进行遍历，得到的是图的生成森林

例1：画出下图的生成森林（或极小连通子图）

求解步骤：
Step1:先求出邻接矩阵或邻接表；
Step2:写出DFS或BFS结果序列；
Step3:画出对应子图或生成森林。

2、求图的最小生成树

             n个顶点的生成树很多，需要从中选一棵代价最小的生成树，即该树各边的代价之和最小。此树便称为最小生成树MST。

目标： 在网络的多个生成树中，寻找一个各边权值之和最小的生成树。

构造最小生成树的准则

• 必须只使用该网络中的边来构造最小生成树；
• 必须使用且仅使用n-1条边来连接网络中的n个顶点；
• 不能使用产生回路的边。

（1）Prim（普里姆）算法

        基本思想：在图中任取一个顶点K作为开始点，令U={k}， V=W-U，其中W为图中所有顶点集，然后找一个顶点在U中，另一个顶点在V中的边中最短的一条，找到后，将该边作为最小生成树的边保存起来，并将该边顶点全部加入U集合中，并从V中删去这些顶点，然后再重复此过程，直到V为空集止。

具体实现过程：

（1）Kruskal（克鲁斯卡尔）算法

       基本思想：将图中所有边按权值递增顺序排列，依次选取权值较小的边，但要求后面选取的边不能与前面选取的边构成回路，若构成回路，则放弃该条边，再去选后面权值较大的边， n个顶点的图中，选够n-1条边即可。