CodeForces - 1407D Discrete Centrifugal Jumps(单调栈+dp)

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题目大意：给出 n 个大楼的高度记为 h，现在需要从第一个大楼到达第 n 个大楼，问最小步数是多少，只有满足以下条件时才能从 i 移动到 j ，设 i < j：

1. 
2. 
3. 

题目分析：无后效性的最优解，显然是 dp 问题，但又不好直接进行转移，所以需要借助数据结构来维护

首先第一种情况的状态不用多说了，直接转移就好，对于后两种情况，假设从状态 dp[ i ] 转移到 dp[ j ] ，对于每个接受状态的 j 来说，需要找到一个 i ，满足其之间的数都要小于 h[ i ] 和 h[ j ] 或者大于 h[ i ] 和 h[ j ] ，其实这就用到了单调栈的一个性质，先稍微回顾一下单调栈，假如现在维护了一个非严格递增的单调栈（维护的是下标，其对应的高度严格递增），一个比较明显的结论就是，假如遍历到当前的位置为 cur，那么对于单调栈内的高度 h 大于等于 cur 的位置 pos 来说，( pos , cur ) 开区间内的数一定都大于 h[ pos ]，假设 ( pos , cur ) 内存在一个数 x 小于等于 h[ pos ]，由于维护的是非严格递增的栈，在之前遍历到 x 时，会将大于等于 x 的 数包括 h[ pos ] 直接弹出栈，所以与假设矛盾，故 ( pos , cur ) 内的数一定都大于 h[ pos ] ，又因为这个 pos 我们一开始取得是 h[ pos ] >= h[ cur ] ，所以满足了情况 3 ，也就是说明了 pos 的状态是可以直接转移到 cur 的状态的，同理可证情况 2

那么如何实现呢，接上一段继续说，如果到了位置 cur 时，现在的目标是需要找到所有 h[ pos ] >= h[ cur ] 的 pos 进行状态转移，而思考一下维护单调栈的过程，是需要将所有大于等于 h[ cur ] 的元素弹出栈，这也就对应了上面的状态转移，所以在弹栈的时候维护一下 dp 就可以了

最后需要注意的一个细节是，因为单调栈维护的是一个非严格递增的序列，显然在弹栈的时候的转移都是合法的，那么当维护好单调栈后，此时的栈顶是否合法呢，我们需要分情况讨论一下：

1. 如果在弹栈的时候，遇到了一个 h[ pos ] == h[ cur ] ，那么当弹完栈后，此时栈顶的位置到 cur 的位置之间一定是存在着一个位置 pos 使得 h[ pos ] == h[ cur ] 的，此时的栈顶无法给 cur 转移状态
2. 如果没有遇到的话，那么在弹完栈后，可以保证栈顶到 cur 之间的数都严格大于 h[ cur ]，证明还是和上面的反证法一样，假设存在一个数 x ∈ [ 栈顶 , cur ] ，且 x 小于等于 h[ cur ] ，那么在之前维护单调栈的时候，栈顶早就被弹出去了，所以得证，此时栈顶是可以向 cur 位置进行状态转移的

理论比较复杂，但是代码实现起来比较简单，我是用 stl 的栈写的，可能看起来比较绕一些

代码：
 

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