~《概率论》~概率的性质条件概率与事件的独立性

《概率论》概率的性质条件概率与事件的独立性

文章目录

    • ~《概率论》~概率的性质条件概率与事件的独立性
    • 一、条件概率
    • 二、概率的乘法公式
    • 三、事件的独立性
    • 四、全概率公式

一、条件概率

  1. 定义:设A,B为任意两个事件,且P(B)>0,则称
    ~《概率论》~概率的性质条件概率与事件的独立性_第1张图片
    为事件B发生条件下,事件A发生的条件概率。
  2. 条件概率满足概率的所有性质,如:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    p(φ|B)=0, p(Ω|B)=1
  3. P(AB)与P(A|B)的区别与联系:
    联系:
    两个都是在A,B发生情况下计算概率。
    区别:
    (1) P(AB) 表示A,B同时发生的概率;P(A|B) 表示在B发生条件下A发生的概率,事件A,B的发生有先后次序。
    (2) P(AB) 的样本空间是 ,P(A|B)的样本空间是B。
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二、概率的乘法公式

  • 定义:设A,B为任意两个事件,若P(A)>0, P(B)>0,则有 称该式为概率的乘法公式。
  • 推广:设A1,A2,…,An为任意n个事件,且 p ( A 1 A 2 ⋅ ⋅ ⋅ A n − 1 ) > 0 p(A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_{n-1})>0 p(A1A2An1)>0,则有 P ( A 1 A 2 ⋅ ⋅ ⋅ A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋅ ⋅ ⋅ P ( A n ∣ A 1 A 2 ⋅ ⋅ ⋅ A n − 1 ) P(A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdot\cdot\cdot P(A_n|A_1A_2\cdot\cdot\cdot A_{n-1}) P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(AnA1A2An1)

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三、事件的独立性

  • 定义:设A,B为随机试验E的任意两个事件,若满足: 则称事件A,B相互独立,简称独立。
  • 必然事件及不可能事件与任意事件A相互独立。
  • 前提:A和B独立。若P(B)>0,则P(A|B)=P(A).
  • 证明:如果P(A)=0或者P(A)=1,则A与任何事件独立
  • A,B独立不同于A,B互斥、对立的概念。
  • A,B独立与A,B互不影响之间的关系。
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  • 性质:定理:设A,B为任意两个事件,则 A , B ; A , B ˉ ; A ˉ , B ; A ˉ , B ˉ A,B;A,\bar{B};\bar{A},B;\bar{A},\bar{B} A,B;A,Bˉ;Aˉ,B;Aˉ,Bˉ 四组事件的独立性等价。
  • 事件A,B独立等价于:
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  • 推广:
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  • 另外:
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  • n个事件A1,A2,…,An独立,则部分用其对立事件替换,所得新的n个事件仍然相互独立。
  • 独立事件概率的计算:
    P ( A 1 A 2 … A n ) = ∏ 1 n P ( A i ) P(A_1A_2\dots A_n) =\displaystyle\prod_1^nP(A_i) P(A1A2An)=1nP(Ai)
    P ( A 1 + A 2 + ⋯ + A n ) = 1 − ∏ 1 n P ( A i ˉ ) P(A_1+A_2+\dots+A_n) = 1-\displaystyle\prod_1^nP(\bar{A_i}) P(A1+A2++An)=11nP(Aiˉ)

四、全概率公式

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