推导最近邻居连接网络的平均距离

当节点数趋向无穷时，推导平均度为4的最近邻居连接网络的平均距离。
解：设节点数为N，定义%为取余运算符，设R:=(N-1)%4代表(N-1)/4的余数。
根据最近邻居连接网络的性质，每个节点都有同质性，所以我们只要算出其中一个节点（设为i）与其它节点的距离之和，然后乘以N/2（除以2是因为每个点对的距离被重复加了一遍）就可以得到每个点对的距离总和，再将总和除以点对的总数就可以算出平均距离。

由于题目规定该网络的平均度为4，参照上图，所以距离节点i距离为1的节点有4个，距离为2的节点也是4个；以此类推，前N-1-R个节点中的最远距离是(N-1-R)/4；剩下的R个节点凑不足4个，所以单独计算距离，它们与节点i的距离是(N+3-R)/4
那么节点i与其它节点的距离总和Si就可以由以下公式算出：
S_i=4×((1+(N-1-R)/4)×(N-1-R)/4)/2+(N+3-R)/4×R
而所有点对的距离总和S等于：
S=(NS_i)/2
再得出点对的总数T：
T=N(N-1)/2
那么平均距离d ̅为：
d ̅=S/T
d ̅=((N+3-R)/8)(1-R/(N-1))+(1-(4-R)/(N-1))R/4
由于R的取值区间是[0, 3]，因此当N趋向无穷时，上式可以简化为：
lim┬(N→∞)⁡d ̅ =(N+3+R)/8≈N/8