利用Matlab优化工具箱求解旅行商最短路径问题

 前面介绍了利用Matlab二元整数规划求解数独问题，对于另一个问题-旅行商问题也可以用它来求解。

    旅行商问题就是找到经过所有站点的最短闭合路径，如下图为在美国地图框架内产生的200个旅行站点，而旅行商要找到一条最短路径将200个站点都旅行到。这也可以借助二元整数规划求解。

    这个例子比较典型：

    首先，例子的计算规模很大，200个站点，相应就有19900个二元变量，对如此多的变量同时进行优化，计算量可想而知，所以求解中使用了稀疏矩阵表达约束，也就是说Matlab优化函数是 接受稀疏矩阵形式的约束条件的；

    另外，对于常规的求解过程，会出现局部旅行问题，如下图出现的独立闭合圈。为了避免这些闭合圈的出现，通常通过增加不等式约束的方式解决，但相关不等式约束的数量将非常庞大，因为任意几个点之间都要保证不出现闭合。为此，例子使用了不断增加不等式约束的 迭代优化方式，即先不添加不等式约束进行优化，如果优化结果中出现闭合圈，则添加相应的约束条件避免这些圈的存在，然后再进行优化，直到不再有闭合圈存在。

    这个例子包含3个文件：TravellingSalesmanExample.m、updateSalesmanPlot.m和detectSubtours.m。其中第一个是整个问题的求解过程，可以用于发布，第二个用于更新每步的优化结果图，第三个为识别每次结果的闭合圈。下面将注释翻译后的文件粘贴如下

    TravellingSalesmanExample.m文件：

%% 旅行商问题，Travelling Salesman Problem

% 这个例子展示如何使用二元整数规划求解经典的旅行商问题。这个问题就是找到经过所有

% 站点的最短闭合路径。这个例子使用了200个站点，但也可以通过改变nStops来得到不同

% 运算量的求解过程。

% 对于初始情况，求解结果中存在子旅途，即结果没有给出一条经过所有站点的连续路线，

% 而是有一些独立的环存在。对此，可以通过迭代加约束、再优化的方法实现子旅途的去除。

 

clc

clear

close all

 

%% 绘制地图和站点

nStops = 200; % 站点个数，可以自己调整，不过求解复杂度与其平方成正比

stopsLon = zeros(nStops,1); % 分配站点的x坐标

stopsLat = stopsLon; % 分配y坐标

 

% 在代表美国的粗糙多边形内产生随机站点

load('usborder.mat','x','y','xx','yy'); % 加载数据，其中(x,y)为美国的精细轮廓，(xx,yy)为粗糙轮廓

rng(3,'twister') % 初始化随机序列，保证每次运行的重复性

n = 1;

while (n <= nStops)

    xp = rand*1.5;

    yp = rand;

    

    % 是否在(xx,yy)的粗糙多边形内

    if inpolygon(xp,yp,xx,yy)

        stopsLon(n) = xp;

        stopsLat(n) = yp;

        n = n+1;

    end

end

 

figure

plot(x,y,'Color','red'); % 多边形边界

hold on

plot(stopsLon,stopsLat,'*b') % 站点

hold off

pause(1)

 

%% 问题建模

% 将旅行商问题建模为整数线性规划问题：

% 1. 得到所有可能的旅行，即所有站点对；

% 2. 计算各旅行的距离；

% 3. 代价函数就是最小化旅途距离；

% 4. 决定变量是二元的，即如果旅行出现在旅途中，则为1，否则为0；

% 5. 为了保证旅途包含所有站点，可以设定如下线性约束：每个站点出现在两个旅行中，即达到和离开。

 

%% 计算点之间的距离

% 如果有200个站点，就有19900个旅行，即19900个二元变量。

idxs = nchoosek(1:nStops,2); % 得到所有组合

 

%% 计算旅行的距离

% 假设地球是平的，这样可以快速计算

dist = hypot(stopsLat(idxs(:,1)) - stopsLat(idxs(:,2)), ...

    stopsLon(idxs(:,1)) - stopsLon(idxs(:,2)));

lendist = length(dist);

 

%% 小结1

% 基于上面定义的dist向量，旅途长度为dist'*x，其中x为二元解向量。这正是我们要最小化的代价函数。

 

%% 等式约束

% 问题有两类等式约束，第一个保证共有200个旅行，第二个保证每个站点必须有2个旅行与其相关。

% 第一个可以用Aeq*x = beq的形式指定。

Aeq = spones(1:length(idxs)); % 全1向量，即将所有x相加

beq = nStops;

 

% 第二个通过扩展上面的Aeq来完成

Aeq = [Aeq;spalloc(nStops,length(idxs),nStops*(nStops-1))]; % 分配一个稀疏矩阵

for ii = 1:nStops

    whichIdxs = (idxs == ii); % 找到包含站点ii的所有旅行

    whichIdxs = sparse(sum(whichIdxs,2)); % 只要有任何一端为ii，即包括此旅行

    Aeq(ii+1,:) = whichIdxs'; % 加入Aeq矩阵

end

beq = [beq; 2*ones(nStops,1)];

 

%% 二元边界

% 所有变量都是二元的，所以设置intcon保证所有变量为整数，同时设置下边界为0，上边界为1

intcon = 1:lendist;

lb = zeros(lendist,1);

ub = ones(lendist,1);

 

%% 使用intlinprog完成最优化

opts = optimoptions('intlinprog','Display','off');

tic

[xopt,costopt,exitflag,output] = intlinprog(dist,intcon,[],[],Aeq,beq,lb,ub,opts);

toc

 

%% 绘制结果

hold on

lh = zeros(nStops,1); % 用来保存线的句柄

lh = updateSalesmanPlot(lh,xopt,idxs,stopsLon,stopsLat);

title('带有子旅途的结果');

 

%% 小结2

% 从绘制结果可以看到，图中存在许多子旅途。到目前还没有设置约束阻止这些子旅途的出现。

% 而为了阻止它们的出现，需要设置难以想象的大量不等式约束。

 

%% 子旅途约束

% 由于不可能一下添加所有子旅途约束，所以可以通过迭代的方式添加约束。

% 即在当前结果中发现子旅途时，则添加相应的不等式约束来阻止这些特定子旅途的出现。

% 通过这种方式，通过简单的几次迭代就可找到合适的旅途。

 

% 利用不等式约束消除子旅途，比如出现一个5点的子旅途，则有5条线将这些点连起来，

% 所以可以要求这五个点之间的线不多于4条。如果找到这五个点之间的所有线，然后限定解中最多出现4条这种线。

% 这样限定是合理的，因为如果有5个或更多线出现在结果中，则将必然出现子旅途(具有n个节点和边的图必然存在圈)。

 

% 函数detectSubtours通过分析求解结果返回向量元胞数组，每个向量包含了组成子旅途的站点。

tours = detectSubtours(xopt,idxs);

numtours = length(tours); % 子旅途的个数

fprintf('子旅途的数目为: %d\n', numtours);

 

%% 加入线性不等式约束消除子旅途，然后重复优化过程，直到只得到一个子旅途为止

A = spalloc(0,lendist,0); % 分配稀疏线性不等式约束矩阵

b = [];

rowIdx = 0;

while numtours > 1 % 循环直到只有一个子旅途

    % 添加子旅途约束

    b = [b;zeros(numtours,1)];

    A = [A;spalloc(numtours,lendist,nStops)]; % 初始分配的稀疏空间不那么重要，这里设为nStops，少了会自动分配空间

    for ii = 1:numtours % 添加numtours个不等式约束

        rowIdx = rowIdx+1; % 指向约束的指针

        subTourIdx = tours{ii}; % 提取当前子旅途

 

        % 找到与当前子旅途关联的所有变量，然后添加不等式约束来阻止所有途径这些站点的子旅途

        variations = nchoosek(1:length(subTourIdx),2);

        for jj = 1:length(variations)

            whichVar = (sum(idxs==subTourIdx(variations(jj,1)),2)) & ...

                (sum(idxs==subTourIdx(variations(jj,2)),2));

            A(rowIdx,whichVar) = 1;

        end

        b(rowIdx) = length(subTourIdx)-1; % 子旅途站点减1为b的值

    end

    

    % 再次尝试优化

    tic

    [xopt,costopt,exitflag,output] = intlinprog(dist,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub,opts);

    toc

    

    % 显示结果

    lh = updateSalesmanPlot(lh,xopt,idxs,stopsLon,stopsLat);

    

    % 检测这次的子旅途数目?

    tours = detectSubtours(xopt,idxs);

    numtours = length(tours);

    fprintf('子旅途的数目: %d\n',numtours);

end

 

title('除去子旅途的结果');

hold off

 

%% 求解效果

% 结果给出了一个可行旅途，但它是否是最小代价的旅途呢？一种检验方式就是检查输出变量output

output  

% output中显示内部计算的上下限间隔为0，所以结果为最优解。  

 

    updateSalesmanPlot.m文件：

function lh = updateSalesmanPlot(lh,xopt,idxs,stopsLat,stopsLon)

% tsp_intlinprog例子的绘图函数

 

if ( lh ~= zeros(size(lh)) ) % 通过lh是否全零来判断是否第一次进入

    set(lh,'Visible','off'); % 移除之前的线

end

 

% 求解结果中的旅行

segments = find(xopt); 

 

% 形成绘制数据

Lat = zeros(3*length(segments),1);

Lon = zeros(3*length(segments),1);

for ii = 1:length(segments)

    start = idxs(segments(ii),1);

    stop = idxs(segments(ii),2);

    

    % 数据之间用NaN分割，这样可以绘制分离的线段，不然需要一个一个绘制线段，产生很多句柄

    Lat(3*ii-2:3*ii) = [stopsLat(start); stopsLat(stop); NaN];

    Lon(3*ii-2:3*ii) = [stopsLon(start); stopsLon(stop); NaN];

end

 

lh = plot(Lat,Lon,'k:','LineWidth',2);

set(lh,'Visible','on');

drawnow;

 

    detectSubtours.m文件：

function subTours = detectSubtours(x,idxs)

% 返回子旅途元胞数组，即图中的子圈

 

x = round(x); % 纠正不确切的整数

r = find(x);

substuff = idxs(r,:); % 旅行线的节点对

unvisited = ones(length(r),1); % 跟踪未访问的旅行

curr = 1; % 正在评价的子旅途

startour = find(unvisited,1); % 第一个未访问的旅行

while ~isempty(startour)

    home = substuff(startour,1);

    nextpt = substuff(startour,2);

    visited = nextpt;

    unvisited(startour) = 0;

    

    while nextpt ~= home

        % 找以nextpt为起点的旅行

        [srow,scol] = find(substuff == nextpt);

        

        % 确定相应旅行的节点

        trow = srow(srow ~= startour);

        scol = 3-scol(trow == srow); % 1变2，2变1

        startour = trow;

        nextpt = substuff(startour,scol); % 子旅途的下一节点位置

        

        visited = [visited,nextpt]; % 将节点加入子旅途

        unvisited(startour) = 0; % 更新访问过的位置

    end

    subTours{curr} = visited; % 保存找到的子旅途

    

    curr = curr + 1;

    startour = find(unvisited,1);

end

end

 

    运行TravellingSalesmanExample.m，得到的结果如下

Elapsed time is 3.394080 seconds.

子旅途的数目为: 28

Elapsed time is 12.648189 seconds.

子旅途的数目: 22

Elapsed time is 1.452217 seconds.

子旅途的数目: 10

Elapsed time is 3.314973 seconds.

子旅途的数目: 5

Elapsed time is 4.305792 seconds.

子旅途的数目: 3

Elapsed time is 8.356620 seconds.

子旅途的数目: 4

Elapsed time is 16.728625 seconds.

子旅途的数目: 1

output =

        relativegap: 0.0100

        absolutegap: 0.0021

      numfeaspoints: 5

           numnodes: 2258

    constrviolation: 2.5580e-13

            message: 'Optimal solution found.

Intlinprog stopped because the objective value is wi...'

from: http://chunqiu.blog.ustc.edu.cn/?p=812