【数据结构与算法分析】证logX0成立

在《数据结构与算法分析：C++描述》中看到个证明题：

证 logx<x 对所有 x>0 成立。（在计算机科学中，默认所有的对数都是以2为底的，除非另有说明）

采用赋值y、求导什么的都不成功，最后看了答案，作者机智地用了归纳法和递推，顺便也复习了一下导数、对数方面的知识。还特意试了Markdown编辑器哈哈~

目录

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证 logx小于x 对所有 x大于0 成立

因为底数为2， (logx)′=1xln2，x>0，ln2>0 ，所以 logx 单调递增。
1. 如果 0<x≤1 ,
当 x=1 时， logx=0<1 ，命题成立；
当 0<x<1 时，由于logx单调递增，所以 logx<0 ，而 x>0 ，命题成立；
2. 如果 1<x≤2 ,
当 x=2 时， logx=1<2 ，命题成立；
当 1<x<2 时，由于logx单调递增，所以 logx<1 ，而 x>1 ，命题成立；
3. 如果 x>2 ,
现在假定对于正整数 p（p≥1） ，对于 p<x≤2p 命题成立，现在证明对于 2p<y≤4p 命题也成立。
(其实就是要两倍关系递推，证明 logy<y 在这种情况下成立)
logy=log(2y2)=log2(y2)=log2+log(y2)=1+log(y2)
因为 2p<y≤4p ，所以 p<y2≤2p ，所以 logy2<y/2 ，所以 1+logy2<1+y2 ；
因为p为正整数，p≥1，而y>2p，所以y>2，所以 y2 ≥1；
所以 1+y2<y2+y2=y ;
又 logy<1+y2 ，所以 logy<y 成立。

综上，对于所有的 x>0 ， logx>x 成立，命题得证。

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总结，常见对数

以上主要采用了归纳法和两倍关系递推，作者实在高明。对于个人而言，比较难想到的两倍关系递推和logy的拆分，主要要对logAB=logA+logB，log1=0，log2=1熟悉，下面记录一下常见的对数公式；

• 基本定义： Xa=Y ，当且仅当 logXY=a ；（在计算机科学中，默认所有的对数都是以2为底的，除非另有声明）
• logAB = (logcBlogcA) ， A, B, C>0, A≠1；
• logAB=logA+logB， A, B>0
• log(AB)=logA−logB
• logAB=BlogA
• logx<x 对所有 x>0 成立
• log1=0
• log2=1
• log1024=10
• log1048576=20

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导数概念及基本公式

• 导数：变化率
• 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
• 单调性：如果函数的导函数在某一区间内恒大于0（或恒小于0），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。
• 导函数等于0的点称为函数的驻点（或极值可疑点），在这类点上函数可能会取得最大值或最小值。

导数基本公式　

名称	公式	典例
常数	c′=0
指数	(xa)′=axa−1	(x)′=1
对数	( logax)′=(1xlna)	( lnx)′=(1x)
正弦函数	(sinx)′=cosx
余弦函数	(cosx)′=−sinx
加减复合函数	[u(x)+v(x)]′=u′(x)±v′(x)
乘法复合函数	[u(x)∗v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)
除法复合函数	[u(x)v(x)]′=[u′(x)v(x)−u(x)v′(x)v2(x)]′ (v(x)≠0)

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参考链接：

[1]: 证明 logX < X 对所有 X > 0 成立.

[2]: 维基百科：导数

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第一次用markdown编辑器，感觉好好用~~：）——Dandelion_Miss