【网络流】网络流的基本概念

流网络：$G=(V,E)$

①有向图，可有环，不考虑反向边。

②对于每条边，都有$c(u,v)$，称为边的容量。

③有两个特殊的点，源点$s$、汇点$t$。

可行流：$f$

①不考虑反向边。

②需要满足的条件：

容量限制：$0\le f(u,v)\le c(u,v)$

流量守恒：$\forall x\in v\{s,t\},{\sum }_{(v,x)\in E}f(v,x)={\sum }_{(x,v)\in E}f(x,v)$

③可行流的流量值：$|f|={\sum }_{(s,v)\in E}f(s,v)={\sum }_{(v,s)\in E}f(v,s)$

④最大流为最大可行流，即流量值最大的可行流。

残留网络：$Gf=(Vf,Ef)$

①$Vf=V$，$Ef=E+E$中所有的反向边（可以有反向边）。

②残留网络中每条边都有容量值$c^{\prime }(u,v)$：

$$c^{\prime }(u,v)=\{\begin{array}{l}c(u,v)-f(u,v),(u,v)\in E\\ f(v,u),(v,u)\in E\end{array}$$

③一组$G,f$对应一个$Gf$。

④$f+f^{\prime }$也是$G$的一个可行流，$|f+f^{\prime }|=|f|+|f^{\prime }|$。（$f^{\prime }$为$Gf$中的一个可行流）

证明：(1)对于容量限制：

$a.$ 当$c^{\prime }(u,v)=c(u,v)-f(u,v),(u,v)\in E$时，即两条边的方向的相同的：

$\because 0\le f^{\prime }(u,v)\le c^{\prime }(u,v)=c(u,v)-f(u,v)$

$\therefore 0\le f(u,v)+f^{\prime }(u,v)\le c(u,v)$

成立。

$b.$ 当$c^{\prime }(u,v)=f(u,v),(v,u)\in E$时，即两条边的方向的不同的：

$\because 0\le f^{\prime }(u,v)\le c^{\prime }(u,v)=f(v,u)\le c(v,u)$

$\therefore 0\le f(u,v)-f^{\prime }(u,v)\le c(u,v)$

成立。

（2）对于流量守恒：

$|f+f^{\prime }|$为原网络中从源点流出的净流量$|f|$+残留网络中从源点流出的净流量$|f^{\prime }|$

⑤推论：若在$Gf$中存在$|f^{\prime }|＞0$，那么对应的$f$必定不是原网络中的最大流。

增广路径：简单路径，没有环，不相交

在残留网络里，从$s$开始，沿着容量大于$0$的边走，如果能走到$t$，那么这条路径就被称为增广路径。

若$f$为$G$中的最大流，那么对应的$Gf$没有增广路径。

割

①定义：将原网络的点集$V$分为两个子集$S,T$，满足$S\cup T=V,S\cap T=\varnothing$，并且$s\in S,t\in T$，将子集划分的一个结果称为原图的一个割（点集不一定联通）。

②割的容量：（不考虑反向边）$c(S,T)={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}c(u,v)$

最小割：容量最小的割。

③割的流量：（考虑反向边）$f(S,T)={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(u,v)-{\sum }_{u\in T}{\sum }_{v\in S}f(u,v)$

性质1：$\forall [S,T],\forall f,f(S,T)\le c(S,T)$

证明：$f(S,T)={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(u,v)-{\sum }_{u\in T}{\sum }_{v\in S}f(u,v)\le {\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(u,v)\le {\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}c(u,v)$

④性质2：$\forall [S,T],\forall f,|f|=f(S,T)$

直观证明：

证明：$|f|$为从$s$流到$t$的净流量，其路径一定经过从$S$到$T$的路径，即等于$S$流到$T$的总净流量$f(S,T)$。

形式化证明：

证明：定义：$f(X,Y)={\sum }_{u\in X,v\in Y}f(u,v)-{\sum }_{u\in X,v\in Y}f(v,u)$

先看几个流量的性质：

①$f(X,Y)=-f(Y,X)$

②$f(X,X)=0$

③$f(Z,X\cup Y)=f(Z,X)+f(Z,Y)$，$f(X\cup Y,Z)=f(X,Z)+f(Y,Z)$，需要满足$X\cap Y=\varnothing$

$\because S\cup T=V,S\cap T=\varnothing$

$\therefore f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)$

$\therefore f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)=f(S,V)$

$\therefore f(S,T)=f(\{s\},V)+f(S-\{s\},V)$

设$s^{\prime }=S-\{s\}$

$\because f(s^{\prime },V)={\sum }_{u\in s^{\prime }}{\sum }_{v\in V}f(u,v)-{\sum }_{u\in s^{\prime }}{\sum }_{v\in V}f(v,u)={\sum }_{u\in s^{\prime }}({\sum }_{v\in V}f(u,v)-{\sum }_{v\in V}f(v,u))=0$

$\therefore f(S,T)=f(s,V)=|f|$

结论：$\forall [S,T],\forall f,|f|\le c(S,T)$

最大流$\le$最小割

最大流最小割定理

对于某一个流网络$G=(V,E)$：

①$f$是最大流

②$Gf$中不存在增广路径

③$\exists [S,T],|f|=c(S,T)$

需要证明①$\iff$②$\iff$③，则要证明①$\Rightarrow$②$\Rightarrow$③$\Rightarrow$①

• 证明①$\Rightarrow$②：

反证法：$f$为最大流，若在$Gf$中存在增广路径，即存在$|f^{\prime }|>0$，那么$|f+f^{\prime }|=|f|+|f^{\prime }|>|f|$，$f$不为最大流，与$f$为最大流矛盾。因此当$f$是最大流时，$Gf$中不存在增广路径，即①$\Rightarrow$②。

• 证明③$\Rightarrow$①：

前面我们证得：$|f|\le c(S,T)$，因此最大流$\le c(S,T)$，且最大流$\le$最小割。

证明$A=B$的常用方式是证明$A\le B$并且$B\le A$

现在证明$|f|=$最大流：

$\because$最大流是所有可行流流量的最大值，$f$为一个可行流

$\therefore$最大流$\ge |f|$

$\because |f|=c(S,T)\ge$最大流

$\therefore |f|=$最大流

还可以证明最大流$=$最小割

前面得到最大流$\le$最小割

$\because$最小割$\le c(S,T)=|f|\le$最大流

$\therefore$最小割$\le$最大流

$\therefore$最大流$=$最小割

• 证明②$\Rightarrow$③：

即需证明在$Gf$中不存在增广路径的情况下，能构造出一个割使得$|f|=c(S,T)$。

定义$S$：在$Gf$中，从$s$出发，沿着容量大于$0$的边走，所有能走到的点。

定义$T$：$T=V-S$

$\because Gf$中不存在增广路径

$\therefore$从$s$是不可能沿着容量大于$0$的边走到$t$

$\therefore t\notin S$

$\therefore$一定满足$s\in S,t\in T,S\cap T=\varnothing$

$\therefore [S,T]$一个合法的割。

下面证明$c(S,T)=|f|$：

①对于$\forall x\in S,\forall y\in T$，都有$f(x,y)=c(x,y)$。

如果$f(x,y)<c(x,y)$，在$Gf$中，$c^{\prime }(x,y)=c(x,y)-f(x,y)>0$，$y$是可以由$x$遍历到的，与$Gf$中不存在增广路径矛盾。因此$f(x,y)=c(x,y)$。

②对于$\forall a\in T,\forall b\in S$，都有$f(a,b)=0$。

如果$f(a,b)>0$，则在$Gf$中，$c^{\prime }(b,a)=f(a,b)>0$，$a$是可以由$b$遍历到的，与$Gf$中不存在增广路径矛盾。因此$f(a,b)=0$。

由①②，$|f|=f(S,T)={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(u,v)-{\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}f(v,u)={\sum }_{u\in S}{\sum }_{v\in T}c(u,v)=c(S,T)$

因此$|f|=c(S,T)$。

注意：在所有证明中，$G,f,Gf$必然是对应的，而不是任意的。