蓝桥杯 历届试题 数字游戏

题目链接：http://www.dotcpp.com/oj/problem1443.html（最近蓝桥一直举办校内赛可能服务器压力大卡的不行，而且这个网站没登陆也能查看题面比较方便一点）

先看到数据规模，如果纯暴力的话10^6 * 10^6肯定是要超时的，所以我们要想办法优化，因为我们只关心栋栋报出的数字总和，我们又知道了其他人报的规律是前面一个人的+1 +2 +3 +4这样报的，那么换句话来说，我们只要知道每循环一组总共加了多少，把这些总和加起来加到栋栋上次报的数字上，就能知道栋栋这次报的数字就多少了，再换句话说就是只需要等差数列求和就得出来了。

不考虑k的情况，假设有3个人报数

假定要知道第二个报的情况，只需要把这一轮的等差数列求和加到上次报的数字上就好了

然后忘记了等差数列的求和公式是什么，就开始推，然后就想了一下比较经典的1+2+3+…+100那个，大概就推到首尾项相加乘个数除以二，得出$n(a_n+a_1)/2$，最后考虑k的情况，因为每次要报到k的时候从0开始报，实质上就是对k取余，这也是写这篇博客的原因，因为大家都知道(a*b)%k=(a%k+b%k)%k，然后套上去的时候我一不小心对$a_n和a_1$也取余了，结果疯狂WA，而且还能过部分数据不是全WA，当时还以为是我的求和公式推错了，上网搜了一下发现也没用我这种式子的（再次吐槽一下，好多人真的是复制粘贴代码就发博客啊），那时候刚好在和一个朋友聊天，然后朋友也说这个式子是可行的

最后就发现了是我手贱多打了两个取余，当然，至于$(n(a_1\%k+a_n\%k)/2)\%k!=S_n\%k$这里也是能通过数学证明的，这里就不详细展开了。
最后发一下AC代码，这里写的稍微“啰嗦了点”，本来很多能省略的，例如$a_n$是能通过$a_1$推出来的，不过我觉得这样写也增加了可读性，更符合数学公式

#include
using namespace std;
long long ans=1,next_num=1,total,an,a1;
int main()
{
	int n,k,t;
	cin>>n>>k>>t;
	ans=1;
	an=n;
	a1=1;
	for(int i=1;i<t;i++)
	{
		next_num=(next_num+(n*(an+a1)/2)%k)%k;
		ans+=next_num;
		a1=an+1;
		an=an+n;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}