图的匹配问题与最大流问题(五)——计算二分图的最大匹配
二分图的最大匹配问题第一篇已经说过，下面看看百度百科给的一些解释：
给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
极大匹配(Maximal Matching)是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。最大匹配(maximum matching)是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。
如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
计算二分图最大匹配可以用最大流(Maximal Flow)或者匈牙利算法(Hungarian Algorithm)。
如图，所示，最大匹配为4：.
一、最大流方法计算最大匹配
最大流问题已经前面已经解释了很多了，不妨可以回去熟悉下先。 最大流问题Ford-Fulkerson解法
如图所示，对于一个二分图，令已有的边的容量（Capacity）为无穷大，增加一个源点s和一个汇点t，令s和t分别连接二部图中的一个分步，并设置其容量为1。这时得到流网络G’，计算得到的最大流就等于最大二分匹配。
代码就很简单了，构造流网络G‘，然后调用最大流算法即得到结果。因为二分图上任何匹配的势之多为min(L,R)(L代表二分图的左部点集，R代表二分图的右部点集)，所以G’中最大流的值为O（V），因此，可以再O（VE‘）=O（VE）的时间内，找出二分图的最大匹配。
二、匈牙利算法
这可是一个大名鼎鼎的算法，它实际上是对最大流算法的一种改进，提高了效率。网上有一篇文章将的很详细，很受用，可以参考： http://imlazy.ycool.com/post.1603708.html。我就不赘述了，直接上代码了，Java实现。
package matchings;
import java.util.ArrayList;
import java.util.HashSet;
import java.util.List;
import java.util.Set;
import entry.Edge;
import entry.Node;
import maxflow.FordFulkerson;
public class Matching {
private double graph[][];
/**
* @param args
*/
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
double graph[][]={
{0,0,0,1,1,0},
{0,0,0,0,1,1},
{0,0,0,0,0,1},
{0,0,0,0,0,0},
{0,0,0,0,0,0},
{0,0,0,0,0,0}
};
double graph2[][]={
{0,0,0,0,0,1,0,0,0},
{0,0,0,0,0,1,0,1,0},
{0,0,0,0,0,0,1,1,1},
{0,0,0,0,0,0,0,1,0},
{0,0,0,0,0,0,0,1,0},
{0,0,0,0,0,0,0,0,0},
{0,0,0,0,0,0,0,0,0},
{0,0,0,0,0,0,0,0,0},
{0,0,0,0,0,0,0,0,0}
};
Matching m=new Matching(graph2);
int L[]={0,1,2,3,4};
int R[]={5,6,7,8};
/*
double flowNetwork[][]=m.getMaxMachingFromMaxFlow(graph2,L,R);
int length=flowNetwork.length;
for(int i=0;i0?flowNetwork[i][j]:0.0)+" ");
}
System.out.println();
}*/
System.out.println(m.getMaxMaching(graph2, L, R));
}
public Matching(double graph[][])
{
this.graph=graph;
}
/**
* Let G be a bipartite graph with partite sets U and W such that r=|U|<=|W|.
* Then G contains a matching of cardinality r if and only if U is neighborly.(which means that :For any nonempty subset X,N(X)>=X)
* 但是这种方法的复杂度为O(2^n),所以可以不如用下面两个算法直接求出最大匹配，然后比对是否是perfect matching
* @return
*/
public boolean hasPerfectMatching(double graph[][],int L[],int R[])
{
return false;
}
/**
* 利用最大流算法实现，返回最大流网络
* @param graph
* @param L
* @param R
* @return
*/
public double[][] getMaxMachingFromMaxFlow(double graph[][],int L[],int R[])
{
int length=graph.length;
double augGraph[][]=new double[length+2][length+2];
for(int i=0;i getMaxMaching(double graph[][],int L[],int R[])
{
int length=graph.length;
for(int i=0;i rSet=new HashSet();
Set lSet=new HashSet();
List list=new ArrayList();
for(int i=0;i list,Set rSet,Set lSet) {
int idx=0;
List oddEdge=new ArrayList();
List evenEdge=new ArrayList();
while(result.getParent()!=null)
{
Node parent=result.getParent();
if(idx%2==0)
{
Edge e=new Edge(parent.nodeId,result.nodeId,0);
evenEdge.add(e);
}
else
{
Edge e=new Edge(result.nodeId,parent.nodeId,0);
oddEdge.add(e);
}
idx++;
result=parent;
}
/**
* 检测第6条性质
*/
for(int i=0;i