求二分图最大权匹配的km算法

这个算法的本质还是不断的找增广路;

KM算法是通过给每个顶点一个标号(叫做顶标)来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问的。设顶点Xi的顶标为A[i],顶点Yi的顶标为B[i],顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻,对于任一条边(i,j),A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

 

KM算法的正确性基于以下定理:
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

 

这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配,如果它包含于相等子图,那么它的边权和等于所有顶点的顶标和;如果它有的边不包含于相等子图,那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权,B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图,直到相等子图具有完备匹配为止。 

 

我们求当前相等子图的完备匹配失败了,是因为对于某个X顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树,它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d,Y顶点的顶标全都增加同一个值d,那么我们会发现: 

1、两端都在交错树中的边(i,j),A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说,它原来属于相等子图,现在仍属于相等子图。
2、两端都不在交错树中的边(i,j),A[i]和B[j]都没有变化。也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图,现在仍属于(或不属于)相等子图。
3、X端不在交错树中,Y端在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。X端在交错树中,Y端不在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说,它原来不属于相等子图,现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。(关键点)

 

现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立,且至少有一条边进入相等子图,d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中,Yi不在交错树中}。

 

以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法,时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改O(n)次顶标,每次修改顶标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack,每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时,如果它不在相等子图中,则让slack[j]变成原值与A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样,在修改顶标时,取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点:修改顶标后,要把所有的slack值都减去d。(注意这个slack的神奇作用)

看了网上那么多讲解这个是最清楚的,膜拜大牛们的表达能力……

下面是模板:

#include #include #include #define MAX 200 int N; const int inf=10000000; bool x[MAX],y[MAX]; int map[MAX][MAX]; int my[MAX]; int lx[MAX],ly[MAX]; int slack[MAX]; bool dfs(int t) { int u; x[t]=1; for(u=1;u<=N;u++) { int wt=lx[t]+ly[u]-map[t][u]; if(!y[u]&&wt==0) { y[u]=1; if(my[u]==-1||dfs(my[u])) { my[u]=t; return 1; } } else if(slack[u]>wt) slack[u]=wt; } return 0; } int perfect_match(int N) { int i,j,k; for(i=1;i<=N;i++) { my[i]=-1; lx[i]=-inf,ly[i]=0; for(j=1;j<=N;j++) { if(lx[i]

注意以下几点;

1,匹配两边节点不需要相等;

2,求最小权的时候只需要将权值取负,在求最大权即可;//十分有效

 

3,不存在的边权初始化为负无穷大;

你可能感兴趣的:(ACM)