【网络流】最大流：点带需求的流通、边带下界的流通

1）点带需求的流通：

新的框架特点：有多个供给点（d(v)<0），都称作源点；有多个需求点（d(v)>0），都称作汇点。同时仍然满足传统最大流中的容量条件（0 <= f(e) <= cap(e)）和需求条件（f_in(v) - f_out(v) = d(v)）。

需要解决的问题：由于有多个源点和汇点，所以不再考虑最大化问题，而是考虑有没有满足容量条件和需求条件的一个可行流通（可行性）。

判断可行性的方法是，把带需求{ d(v) }的可行流通问题转换为在另一个网络中找最大 s-t 流的问题。另一个网络的构造方法如下：

给个例子就是这样的：

在G‘中找最大 s-t 流，那么最大流的值是多少才能证明原图G中存在可行流通？？？答案是P272，定理7.50：

G中存在一个带{ d(v) }的可行流通，当且仅当G’的最大 s*-t* 流有值D（其中，D是所有需求的和，同时也是所有供给的和）。

2）点带需求 和 边带下界的流通：

新的框架特点：有多个供给点（d(v)<0），都称作源点；有多个需求点（d(v)>0），都称作汇点；同时，每些边e有最小流量 low(e) 的要求（即，必须使用某些边，且仍然满足传统最大流中的容量条件（low(e) <= f(e) <= cap(e)）和需求条件（f_in(v) - f_out(v) = d(v)）。

需要解决的问题：由于有多个源点和汇点，所以不再考虑最大化问题，而是考虑有没有满足容量条件和需求条件的一个可行流通（可行性）。

判断可行性的方法是，把点带需求{ d(v) }和边带下界{ low(e) }的可行流通问题转换为在另一个只有点带需求{ d(v) }的网络中判断可行流通的问题，进而转换为在第三个网络中找最大 s-t 流的问题。另一个网络的构造方法如下：

对于所有有容量下界 low(e) 的边，将容量变得 0 <= f(e) <= cap(e) - low(e)，相当于提前提供了 low(e) 这么多流量的保障；那么，e的尾部节点v应该还能提供的流量要相应减少low(e)；同时，e的头部节点v应该在原有流量需要的基础上，再加上强加给它的low(e)的需求！可能没描述清楚，看图：

去下界的转换相当于 v 到 w 有 low(e)个流量已经流过去，那要不要加容量为low(e)的反向边？
答案： 不用。反向边相当于给了后悔的机会，加了反向边，之后就可以把已经流过去的low(e)个流量又推回来，这不是我们想要看到的。