二分图定义性质学习（入门），二分图匹配

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二分图

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二分图又称作二部图，是图论中的一种特殊模型。 设G=(V,E)是一个无向图，如果顶点V可分割为两个互不相交的子集(A,B)，并且图中的每条边（i，j）所关联的两个顶点i和j分别属于这两个不同的顶点集(i in A,j in B)，则称图G为一个二分图。

中文名

二分图

外文名

Bipartite Graph

别    称

二部图

性    质

图论中的一种特殊模型

所属领域

数学专业术语

目录

1. 1 定义
2. 2 辨析示例
3. 3 充要条件

1. 4 最大匹配
2. 5 性质
3. 6 判定

1. 7 C语言实例

定义

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简而言之，就是顶点集V可分割为两个互不相交的子集，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个互不相交的子集，两个子集内的顶点不相邻。

辨析示例

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区别二分图，关键是看点集是否能分成两个独立的点集。 [1] 

上图中U和V构造的点集所形成的循环圈不为奇数，所以是二分图。

上图中U和V和W构造的点集所形成的的循环圈为奇数，所以不是二分图。

充要条件

无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点，且其所有回路的长度均为偶数。

最大匹配

求二分图最大匹配可以用最大流或者匈牙利算法。

最大匹配

   给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配.

选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题（maximal matching problem)

   （换一句话说，匹配就是每个点只能连一条边）

如果一个匹配中，图中的每个顶点都和图中某条边相关联，则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。

算法

求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。

增广路的定义（也称增广轨或交错轨）：

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边（即已匹配和待匹配的边）在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径.

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

1-P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M.

2-P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M'.

3-M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径.

匈牙利算法

用增广路求最大匹配（称作匈牙利算法，匈牙利数学家Edmonds于1965年提出）

算法轮廓：

⑴置M为空

⑵找出一条增广路径P，通过取反操作获得更大的匹配M'代替M

⑶重复⑵操作直到找不出增广路径为止

代码省略.......

 

算法的思路是不停的找增广轨，并增加匹配的个数，增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径，在匹配问题中，增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的路径，它的第一条边是目前还没有参与匹配的，第二条边参与了匹配，第三条边没有..最后一条边没有参与匹配，并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行，显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径，我们可以将第一条边改为已匹配，第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"反色",容易发现这样修改以后，匹配仍然是合法的，但是匹配数增加了一对.另外，单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明，当不能再找到增广轨时，就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路.

性质

二分图中，点覆盖数是匹配数。
　　（1）二分图的最大匹配数等于最小覆盖数，即求最少的点使得每条边都至少和其中的一个点相关联，很显然直接取最大匹配的一段节点即可。
　　（2）二分图的独立数等于顶点数减去最大匹配数，很显然的把最大匹配两端的点都从顶点集中去掉这个时候剩余的点是独立集，这是|V|-2*|M|，同时必然可以从每条匹配边的两端取一个点加入独立集并且保持其独立集性质。
　　（3）DAG的最小路径覆盖，将每个点拆点后作最大匹配，结果为n-m，求具体路径的时候顺着匹配边走就可以，匹配边i→j',j→k',k→l'....构成一条有向路径。

（4）最大匹配数=左边匹配点+右边未匹配点。因为在最大匹配集中的任意一条边，如果他的左边没标记，右边被标记了，那么我们就可找到一条新的增广路，所以每一条边都至少被一个点覆盖。

（5）最小边覆盖=图中点的个数-最大匹配数=最大独立集。

判定(比较重要)

二分图是这样一个图： 有两顶点集且图中每条边的的两个顶点分别位于两个顶点集中，每个顶点集中没有边直接相连接！

无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。

判断二分图的常见方法是染色法： 开始对任意一未染色的顶点染色，之后判断其相邻的顶点中，若未染色则将其染上和相邻顶点不同的颜色， 若已经染色且颜色和相邻顶点的颜色相同则说明不是二分图，若颜色不同则继续判断，bfs和dfs可以搞定！

易知：任何无回路的的图均是二分图 [3]  。

下面来自刘汝佳白书的内容

本节介绍二分图匹配。  虽然很多问题都可以借助最大流或最小费用流算法解决。

    但这里介绍的方法更简单， 速度也更快。和前面的内容一样，这些算法思想本身也 是

很有启发性的，请不要简单地把他们看成黑盒算法，只知其然而不知其所以然。

 

1、什么是匹配呢？

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，

则称M是一个匹配。（也可以说子图M中的每个顶点只连接一条边）。

2、极大匹配(Maximal Matching)：是指在当前已完成的匹配下,无法再通过增加未完成匹配的边的方式来增加匹配的边数。

3、最大匹配(maximum matching)：是所有极大匹配当中边数最大的一个匹配,设为M。选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题。用刘汝佳的话说，找一个边数最大的匹配，就是尽量选最多的边，使得任意两条边均没有公共的点

4、完美匹配（完备匹配）：一个图中所有的顶点都是匹配点的匹配，即2|M| = |V|。完美匹配一定是最大匹配，但并非每个图都存在完美匹配。用刘汝佳的话说，如果所有点都是匹配点（匹配中某一条边的端点），则称这个匹配是完美匹配

5、最优匹配：最优匹配又称为带权最大匹配，是指在带有权值边的二分图中，求一个匹配使得匹配边上的权值和最大。一般X和Y集合顶点个数相同，最优匹配也是一个完备匹配，即每个顶点都被匹配。如果个数不相等，可以通过补点加0边实现转化。一般使用KM算法解决该问题。（KM（Kuhn and Munkres）算法，是对匈牙利算法的一种贪心扩展。）

6、最小覆盖 
二分图的最小覆盖分为最小顶点覆盖和最小路径覆盖：

①最小顶点覆盖是指最少的顶点数使得二分图G中的每条边都至少与其中一个点相关联 
注：二分图的最小顶点覆盖数=二分图的最大匹配数

②最小路径覆盖也称为最小边覆盖，是指用尽量少的不相交简单路径覆盖二分图中的所有顶点。 
注：二分图的最小路径覆盖数=|V|-二分图的最大匹配数

7、最大独立集 
最大独立集是指寻找一个点集，使得其中任意两点在图中无对应边。对于一般图来说，最大独立集是一个NP完全问题，对于二分图来说最大独立集=|V|-二分图的最大匹配数。最大独立集S 与 最小覆盖集T 互补
 

5.5.1二分图最大匹配问题

【问题背景】

n只公牛和m只母牛，
某些公牛和某些母牛互相喜欢。
但最后一只公牛只能和一只母牛建立一对一匹配。
要使得最后牛群匹配对数最大。
【输入】
第一行三个整数n, m，k( 1<= n, m <= 10000，0< k <= 100000）。
下来k行，每行两个整数 x，y，表示一条边，连接X集合中x点和Y集合的y点。
【输出】

只有一行。输出一个整数，表示牛群匹配对数最大值.
input:
5 5 9
1 2
2 2
2 3
2 5
3 1
3 3
4 1
5 3
5 4
output

5

题目来源https://www.luogu.org/problemnew/show/P3386

裸的最大匹配，求最大匹配问题我知道的有两种求法，一个是匈牙利算法和增广路算法
下面贴匈牙利算法求最大匹配，时间复杂度O(n^2)

这里优化了一个used数组。

#include
using namespace std;
struct edge{int to,next;}a[100001];
int n,m,k,part[10001],link[10001],lk,h[10001];
bool dfs(int x)
{
	for (int i=h[x];i;i=a[i].next)//有好感的妹子 
	{
		if (link[a[i].to]!=lk)
		//我好像懂了，每次都要memset（used）多麻烦。
		//搞一个这样的标记不就可以了 ，非常好的一个优化。 
		{
			link[a[i].to]=lk;//太秀了吧 
			if (!part[a[i].to]||dfs(part[a[i].to]))//part==0妹子没有匹配到男生
			//或者她的这个男生是可以转移的。 可以腾出空间 
			{
				part[a[i].to]=x;// 这个男生直接上吧 
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
	int u,v;
	for (int i=1;i<=k;i++)
	{
		scanf("%d%d",&u,&v);
		a[i].to=v;
		a[i].next=h[u];
		h[u]=i;
	}
	lk=0;int ans=0;
	for (int i=1;i<=n;i++)//枚举男生 
	{lk++;if (dfs(i)) ans++;}
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

后续待补......

由于文章太长，后面不再补，将会重写新的文章。