匈牙利算法与套题

匈牙利算法与套题

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匈牙利算法是利用增广路来找二分图里的最大匹配问题。

二分图的概念：

设G=(V, E)是一个无向图。如果顶点集V可分割为两个互不相交的子集U和V，并且图中每条边连接的两个顶点一个在U中，另一个在V中，则称图G为二分图。

如何判断给你的图为一个二分图：染色法(BFS判断)

• 染色法就是将二分图中的两个不相关的子区间染成不同颜色(如上图中U被染成蓝色，V被染成绿色)，这样在这个图里面的每条边的端点都是不同的颜色。 — wiki。
• 所以在一个图中，我们随便从一个点从0开始进行BFS(广度优先搜索)，每次搜索到的点先进行判断是否被搜过，如果没有被搜过，那么这个搜到的点 = 目前的点+1.如果被搜过，就要判断两个值是否同奇或者同偶，如果不满足同奇或者同偶，就说明不满足染色法，就不是一个二分图。

下面是一个图，用染色法标记发现它是一个二分图

上面的图转换成二分图为：

二分图中几个小知识：

1. 匹配：根据染色法边集E的任意两条边不依附同一个顶点
2. 最大匹配：最大匹配数也是最小覆盖数，要到把当前二分图中的匹配数找到不能找为止
3. 完全匹配：匹配完图G中所有点。
4. 取反：在一条增广路中，把未匹配的变成匹配并把匹配的变成未匹配。
   • 注：完全匹配一定是最大匹配，最大匹配不一定是完全匹配。

增广路的概念：

在网上搜了一下增广路发现有点看不懂：

• 若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径（举例来说，有A、B集合，增广路由A中一个点通向B中一个点，再由B中这个点通向A中一个点……交替进行）。 —百度百科

然后在网上疯狂找资料找到了一个易懂的：通过交替路找增广路

• 交替路：再G中的边，匹配的边和未被匹配的边交替出现
• 增广路：从未匹配的边开始，走交替路，并以未匹配的边结束。

匈牙利算法：

1. 置M为空。
2. 用DFS(深度优先搜索)寻找增广路，取反获得最大匹配M’代替M。
3. 重复2，直到找不到增广路为止。
   注： M为二分图以匹配边的集合。

当时我在这里不理解，为什么找到了增广路取反得到的新M集合(M’)就要比旧M集合更优？

其实这里你画一下图就很好理解了，这里我先用文字描述一下：因为增广路是从未匹配开始到未匹配结束，所以你对增广路取反必定会在原来匹配边的基础上增加一条匹配边。

如下图：上图为旧M集合，下图为取反后的新M集合。可看出取反后的M集合里的匹配条数多了一条。

匈牙利算法题集：

匈牙利板子题：POJ3041

题意：输入两个数n，m。n为点集，m为边集。然后m组数据是从X点集到Y点集的边。要你求最小覆盖数，也就是最大匹配数。
点击查看代码(DFS+邻接矩阵)
点击查看代码(BFS+邻接矩阵)

hdu2063

点击查看代码(BFS+邻接矩阵)

二分图判定:hihocoder1121

BFS+邻接表

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参考资料：

趣写算法系列之–匈牙利算法
匈牙利算法
二分图匹配——匈牙利算法和KM算法
二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法