蓝桥杯 算法训练 拦截导弹

问题描述
  某国为了防御敌国的导弹袭击,发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷:虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度,但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天,雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系统还在试用阶段,所以只有一套系统,因此有可能不能拦截所有的导弹。
  输入导弹依次飞来的高度(雷达给出的高度数据是不大于30000的正整数),计算这套系统最多能拦截多少导弹,如果要拦截所有导弹最少要配备多少套这种导弹拦截系统。

输入格式
  一行,为导弹依次飞来的高度
输出格式
  两行,分别是最多能拦截的导弹数与要拦截所有导弹最少要配备的系统数
样例输入
389 207 155 300 299 170 158 65
样例输出
6
2

思路
1、首先是求最长非递增子序列,套用模板就可以。
2、下面是怎么求最少系统数。别的答案都是直接给出解法为LIS,但是没说明为什么。其实道理很简单,因为在最长递增子序列中的每一个元素都必须被不同的系统打下来,不可能被同一个系统打下来。那么为什么最长递增子序列的个数就是最少的系统数呢?

我们考虑最长递增子序列为60,70,80,90,100。在该序列之外,假如某个的导弹高度为65,那么应该跟最长递增子序列中的60属于同一组(被同一个系统打下来);假如另外的导弹高度为95,那么应该跟最长递增子序列中的90属于同一组;假如另外的导弹为60,那么也应该跟最长递增子序列中的60属于同一组…

由此可见,最长递增子序列的个数就是最少的系统数,这个最少系统数的确可以保证将所有导弹都给拦截下来。

#include
#include
#include
using namespace std;
int a[10005];
int dp[10005],dpdp[10005];
int ans=1;//最多拦截导弹数
int cnt=1;//最少系统数
int main() {
     
	int i=1;
	while(cin>>a[i]){
     
		dp[i]=1;
		dpdp[i]=1;
		i++;
	}
	int size=i-1;
	//计算最长非递增子序列 
	for(int i=2;i<=size;i++){
     
		for(int j=1;j<i;j++){
     
			if(a[j]>=a[i]){
     
				dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
			}
		}
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	printf("%d\n",ans);
	//计算最长递增子序列 
	for(int i=2;i<=size;i++){
     
		for(int j=1;j<i;j++){
     
			if(a[j]<a[i]){
     
				dpdp[i]=max(dpdp[i],dpdp[j]+1);
			}
		}
		cnt=max(cnt,dpdp[i]);	
	}
	printf("%d\n",cnt);
	return 0;
}
/*
300 207 155 300 299 170 158 65
*/

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