公平的席位分配

如果说数学有点用，估计大都表现在运筹学中吧。“公平”的席位分配首先本来就是不可能的，公平一般是无法达到的，我们只是尽量降低不公平度，那么我们怎么衡量不公平度呢。就像评价一个人，有不同的指标，不公平度也是一样，这里介绍一种相对合理易于接受，且好判断的方法。

问题表述

某学校三个系部学生共200名,(甲系100,乙系60,丙系40)代表会议共20席,按比例分配三个系分别为10、6、4席。老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的,现因学生转系三系人数为103、63、34。
1. 问20席该如何分配 ?
2. 若增加21席又如何分配 ?

显然，因为无法整除无论如何分配都不公平。下面说一下几种策略。
1. 按班级人数比例乘以总人数，小数点大的分得多余的一个位子。

某校	甲系	乙系	丙系
共200人	103	63	34
人数比例	51.3	31.5	17
20席位	10.3	6.3	3.4
实际分配	10	6	4
21席位	10.82	6.62	3.57
实际分配	11	7	3

按照上述方法，会出现席位增多而丙系的席位却减少了一个的不合理现象，说明此方法并不合理。

模型建立

假设由A、B两个单位公平分配席位的情况，设两方人数 p1,p2 ,分配到的席位为 n1,n2 。
1. p1n1=p2n2 公平，但是一般是不满足的。
2. p1n1>p2n2 对A不公平。
3. p1n1<p2n2 对B不公平。

绝对不公平度为

d=∣∣∣p1n1−p2n2∣∣∣

但这样做还是有不足，例如
某两个单位的人数和席位为 n1=n2=10,p1=120,p2=100 算得 d=2 .
另两个单位的人数和席位为 n1=n2=10,p1=1020,p2=1000 算得 d=2 。
但是显然，后一种方案，更公平。

因此，我们引入相对不公平度
1. 若 p1n1>p2n2 则

rA(n1,n2)=p1n1−p2n2p2n2

2. 若 p1n1<p2n2

rB(n1,n2)=p2n2−p1n1p1n1

我们的目标是让 rA,rB (每种分配只会有一个)最小。

确定分配方案

假设当前 p1n1>p2n2 对A不公平。新增了一个席位。
1. 若 p1n1+1>p2n2 则A加1席
2. 若 p1n1+1<p2n2
若分配给A，则对B的不公平值(相对):

rB(n1+1,n2)=p2(n1+1)p1n2−1

若分配给B，则对A的不公平值(相对):

rA(n1,n2+1)=p1(n2+1)p2n1−1

若 rA(n1,n2+1)<rB(n1+1,n2) 则席位分配给B，反之给A。
即令

Qi=p2ini(ni+1)

将席位分配给 Q 值较大者。

模型求解

先按照平均原则取整之后。分出了19席： n1=10,n2=6,n3=3
第20席:

Q1=103210×11=96.4,Q2=6326×7=94.5,Q3=3423×4=96.3

则分配： n1=11,n2=6,n3=3
第21席： Q1=80.4,Q2=94.5,Q3=96.3
则分配： n1=11,n2=6,n3=4 .

本文参考文库1和文库2。修改了其中的错误，由于席位分配问题确实是一个经典问题，故在此记录。

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