有n个柱子，现在要给柱子染色，有k种颜色可以染，求有多少种染色方案

一、思路

使用递推式

二、代码

这是 www.lintcode.com 上面的 第514道题

有n个柱子，现在要给柱子染色，有k种颜色可以染，求有多少种染色方案？

题目要求说，不存在超过2个相邻的柱子颜色相同

思路：：：：

 当 只有 1 个柱子的时候                k 种染色方案

当 有2 个柱子的时候                    k*k 中染色方案

当 有 3 个柱子的时候  分析如下

        情况一： 前两个柱子颜色相同，那么第三个柱子颜色必须与前两个不一样  

                    //      k种可能                               ( k-1) 种可能                   k * ( k-1 )                                                                 

        情况二：  前两个柱子颜色不同，那么第三个柱子颜色无所谓  因为题目中是不超过两个连续相同颜色，两个柱子颜色相同是被允许的。  

                      //      k*k  种可能                        ( k-1) 种可能                   k * k * (k-1)

所以  3 个柱子染色方案 是      k * ( k-1 )  + k * k * (k-1)

情况一，前两个柱子颜色相同 ，有 k 种可能  ，也就相当于  只有一个柱子

情况二，前两个柱子颜色不同， 有k*k 种可能， 也就相当于  只有两个柱子

这里我们  可以假定  公式为    D(n)  =  (k-1) * D(n-1) + （k-1）*D(n-2)

现在情况推展到   n  为很大一个数字                   

  p ............   p   p   p  p  p   p   p   p   p   p  p   p   p   p

   这里有 n-1 个染好色  p ,并且符合题目要求， 我们要给第  n 个  “p” 染色

    那么  第 n-2  个p  和第 n-1 个 p  只有两种情况  要么颜色相同，要么不同

   因为我们事先假定前  n-1 个p 符合题目染色要求

设  n-2 个  p 染色 方案  D(n-2) 

      n-1 个  p 染色 方案  D(n-1)

    如果  第n-1个p 和第n-2个p颜色相同,  那么 第n个柱子 有k-1种染色法，

    这种情况   D（n-2）* （k-1）, 因为  n-1,n-2颜色相同，和  只有  n-2个  柱子没有区别 

    如果  第n-1个p 和第n-2个p颜色不同,  那么第n个柱子 有（k -1）种染色法，（它前面两个柱子那种颜色不可以所以是k-1）这种情况 D（n-1）* (k-1), 因为  n-1,n-2颜色相同

综上    公式为  D(n)  =  (k-1) * D(n-1) + （k-1）*D(n-2)
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#include 
using namespace std;
class Solution {
    public:
        int numWays(int n, int k) {
            // write your code here
            int a = k;    //  这是 n = 1 时候的答案
            int b = k*k;   //  这是 n = 2 时候的答案
            int t = (n-1)/2;    
            for(int i = 0; i < t ;++i){
                a = a * (k-1) + b * (k-1);
                b = b * (k-1) + a * (k-1);
            }                                    //通过这个循环  第一个循环 得到了  n = 3,4 时的答案
            if( n % 2 == 0  ){                   //              第二个循环 得到了  n = 5,6 时的答案
                return b;
            }else{
                return a;
            }
        }
};
 
int main()
{
    int a = 3, b = 2;
    Solution* ss = new Solution();
    cout<numWays(a, b);
    return 0;
}